o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

m
*
p
e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ α ( P) dΩ( p)
ijkl
Ω
m
, ijkl
m
102
(i, j, k, l = 1, 2; α = 1, 2, 3) (5.69)
Desse modo, em uma determinada célula, são calculados nove coeficientes para cada
*
componente de curvatura w,ij. Os valores de w ( q, P),
podem ser expressos na forma:
w q P
Dr f
*
1
, ( , )=− 2
4π
ijkl ijkl
( )
, ijkl
θ (5.70)
onde: f ( ) ijkl θ depende apenas do ângulo θ, pois possui apenas as derivadas do raio em
relação às direções x1 e x2.
se:
Substituindo-se (5.70) e (5.59) em (5.69) e fazendo-se a integração sobre r, obtém-
θ
R
e q f R ( ) ( b a )
D A d
3
m 1 ⎡ q
2 θ ⎤
α α
ijkl ( ) = ∫ ijkl ( θ) ⎢ξαln
2 θ + cosθ + sen θ ⎥ θ +
4π⎣2 θ
⎦
θ
1
( θ)
3
1 ⎡
⎤
α α R 1
− ∫ f θ ⎢ξα
R1( θ) + ( b θ + a θ)
⎥ θ
4πD⎣2A θ
⎦
d
q
ijkl ( ) ln cos sen (5.71)
1
Essas integrais podem ser feitas numericamente em relação a θ, no caso em que
q
R1(θ) for zero e o ponto q não coincidir com o vértice α do triângulo, pois nesse caso, ξ α é
zero. Porém, no caso em que R1(θ) for zero e o ponto q coincidir com o vértice α do
q
triângulo, tem-se que ξ α = 1, e, portanto, a segunda integral somente pode ser interpretada
no sentido do valor principal de Cauchy. Logo, deve-se reescrever a expressão (5.72),
substituindo-se R1(θ) por um pequeno valor constante ε, conforme indicado na figura (5.5), e
tomando-se o limite, quando ε tende a zero, ou seja:
θ
( )
( θ)
R
e q f R ( ) ( b a )
D A d
ijkl
2
m 1 ⎡
⎤
q
α α
2
( ) = ∫ ijkl ( θ) ⎢ξαln
2 θ + cos θ + sen θ ⎥ θ +
4π⎣2 θ
⎦
1
θ ⎡
2
θ 2
1
⎤
q
ε
α α
− lim⎢ξαln ε + ( + ) ⎥
4π→0∫fijkl ( θ) dθ
∫ fijkl ( θ) b cos θ a sen θ dθ
(5.72)
D ε
⎣⎢
2A
θ
⎦⎥
1
θ1
onde fijkl( θ ) tem a seguinte propriedade: