o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

0 ∂
0 *
Ι, β = ( ( ) , ( , ) ) Ω(
) +
∂x
( q) ∫ Mkl p w klmm q p d p
β
Ω
∂ ⎡ 1
+
∂xβ( q)
⎢
⎣ 2D
0 0 ( M M ) +
11
Ω
22
93
⎤
⎥
⎦
(5.40)
*
w, kl ( q, p)
'
Nesta última, a integral V ( q)
= Mkl ( p) d ( p)
x x ⎛
⎞
∫ ⎜
⎟
⎝
⎠
∂
2
0
Ω é calculada de
∂ ∂
m m
'
maneira análoga ao que foi feito para V(q) (5.18). Desse modo, denominando-se Vc( q)
a
parcela da integral V’(q) no domínio Ωc, onde há a singularidade, esta pode ser escrita
como:
∫
' 0
*
V ( q) = M ( q) w, ( q, p) dΩ( p)
+
c kl mmkl C
Ω
C
∫
[ ]
0 *
+ M , ( q) x ( p) − x ( q) w, ( q, p) dΩ( p)
kl j j j mmkl C
Ω
C
(5.41)
Substituindo-se nesta última o valor de w, mmkl
*
, considerando-se as equações (5.20)
e (5.24) e ainda, que o valor de r é igual a ε no domínio Ωc, e que as funções envolvidas
dependem apenas do ângulo φ, chega-se aos resultados:
e
∫
Ω C
∫
Ω C
*
w, ( q, p) dΩ( p)
= 0 (5.42)
mmkl C
[ ]
*
x ( p) − x ( q) w, ( q, p) dΩ( p)
= 0 (5.43)
j j mmkl C
Logo, pode-se escrever que:
∂V'(
q)
⎡ ∂
= lim⎢
∂x
ε
β ( q) →0
⎣⎢
∂xβ(
q) ∫
Ω ε
⎤
*
0
w, mmkl ( q, p) dMkl ( p) Ω ε ( p)
⎥
⎦⎥
Aplicando-se a regra de Leibnitz para diferenciação de integrais, obtém-se:
*
∂V'(
q)
∂w,
mmkl
0
*
0
= ( qpM , ) kl ( pd ) ( p)
x ( q)
∫ Ω =
x ( q)
∫ eβkl ( qpM , ) kl ( pd ) Ω(
p)
∂ β
Ω
∂ β
Ω
(5.44)
(5.45)