o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

De acordo com (4.8), w é aproximada por uma função quadrática sobre o elemento
Γj. Assim, derivando-se duas vezes a expressão de w, em relação à x 2 e fazendo-se a
transformação de coordenadas, dada por (4.1.b), pode-se escrever:
2
2
2
2
∂ w 4 ⎛ ∂φ1(
P) ∂φ ∂φ
1 2 ( P) 2 3 ( P) ⎞ 3
2 = ⎜ 2
2 w + 2 w + 2 w ⎟
∂x
l ⎝ ∂ξ
∂ξ
∂ξ ⎠
2
69
(4.79)
Calculando-se as derivadas das funções aproximadoras, obtém-se a expressão de
w,22. Substituindo-se essa última em (4.78), chega-se à equação:
M
22
2 ( − ν )
D 1 ⎡ 8 1 8 2 8 ⎤
3
= ⎢
w − w +
w ⎥ M 2
n
l
⎣⎢
1( 3 − 1)
1 3
3( 1 − 3)
⎦⎥
+ ν (4.80)
ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ
A transformação de coordenadas do sistema local ( x1, x2)(ver
figura 4.11) para o
sistema local (x1, x2), associado aos eixos de referência do sistema global (X1, X2), e, viceversa,
são dadas por:
⎧x
1 ⎫
x1
⎨ ⎬
⎩x
2 ⎭ x2
= ⎡
⎤
⎢
⎣−
⎥
⎦
⎧ senα cosα
⎫
⎨ ⎬
cosα senα
⎩ ⎭
⎧x
1 ⎫
x1
⎨ ⎬
⎩x
2 ⎭ x 2
=
⎡ − ⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
⎧ senα cosα
⎫
⎨ ⎬
cos α sen α ⎩ ⎭
(4.81)
(4.82)
Considerando-se as equações (4.81) e (4.82), obtém-se a transformação do vetor de
momentos no sistema local ( x1, x2)
para o sistema global (X1, X2), que é dada por:
⎧M
⎪
⎨M
⎪
⎩M
11
12
22
2 2
⎫ ⎡ sen α 2senαcosα
cos α ⎤⎧M
⎪ ⎢
2 2
⎥⎪
⎬ = ⎢−
senαcosα − cos α + sen α senαcosα⎥⎨M ⎪
2 2
⎭ ⎣
⎢ cos α − 2senαcosα
sen α ⎦
⎥⎪
⎩M
11
12
22
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(4.83)
Fazendo-se Mn = M11
e substituindo-se os valores de M 12 e M 22 , dados por
(4.74) e (4.80), respectivamente, na equação (4.83) obtêm-se os momentos no ponto Q em
função dos deslocamentos e esforços nodais do elemento j ao qual pertence, ou seja: