o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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M11 M12 M22+∂M22dx2 /∂x2 τ21 σ22 σ22 dx1 τ23 τ23 τ21 g τ12 τ13 τ13 τ12 σ11 σ11 dx2 FIGURA 2.3 - Tensões em um Elemento de Placa M22 M21 M12+∂M12dx1/∂x1 M21+∂M21dx2/∂x2 M11+∂M11dx1/∂x1 x 2 t/2 t/2 x 3 x 1 Q 1 X2 X3 Q 2 X1 Q 2+∂ Q 2dx2/∂ x2 FIGURA 2.4 - Esforços em um Elemento de Placa Q 1+∂Q 1dx1/∂x1 Na figura (2.4) M11 e M22, momentos de flexão, e M12 e M21, momentos volventes, são momentos por unidade de comprimento e são obtidos integrando-se as tensões ao longo da espessura x3, considerando-se a equação (2.7), como é mostrado a seguir: t 2 M11 = ∫ 11x3dx3= σ 2 2 E ⎛ ∂ w w⎞ − ⎜ + ⎟ 2 2 ν 1 − ν ⎝ ∂x y ⎠ ∂ ∂ t − 2 3 Et onde D = 12 1 − ν 2 ( ) 2 t 2 ∫ t − 2 2 3 , representa a rigidez à flexão da placa. xdx Analogamente, obtém-se M12 e M22. Na forma matricial, tem-se: 3 ⎛ ∂ w w⎞ =− D⎜ + ν ⎟ ⎝ ∂x x ⎠ ∂ 2 2 2 2 ∂ 1 2 13
⎧M ⎫ 11 ⎪ ⎪ Et ⎨M 22 ⎬ = ⎪ ⎩M ⎪ ( ) 12 ⎭ 3 2 ⎧ ∂ w ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ − 2 ⎪ ⎢1 ν 0 ⎥ ⎪ ∂x 1 ⎪ 2 ⎢ν 1 0 ⎥ ⎪ ∂ w ⎪ 2 12 1− ν ⎢ 1− ν ⎥ ⎨ − 2 ⎬ ⎢0 0 ⎥ ⎪ ∂x 2 ⎪ 2 ⎣ 2 ⎦ ⎪ ∂ w ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎩ ∂x1∂x2 ⎭ ou na forma indicial: [ ν , δ ( ν) , ] 14 (2.8) M =− D w + 1 − w (i, j, k = 1,2) (2.9) ij kk ij ij Invertendo a equação (2.8), obtêm-se as curvaturas, a partir dos momentos: 2 ⎧ ∂ w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ ⎪ ∂x1 ⎪ ⎡ 1 − ν 0 ⎤⎧M 2 ⎪ ∂ w ⎪ 12 ⎢ ⎥⎪ ⎨ − 2 ⎬ = 3 ⎢− ν 1 0 ⎥⎨M ⎪ ∂x 2 ⎪ tE ( + ) ⎪ ⎪ ⎣ ⎢ ν ⎦ ⎥⎪ 2 0 0 2 1 ∂ ⎩M w ⎪− 2 ⎪ ⎩ ∂x1∂x2⎭ Os esforços cortantes, dados por unidade de comprimento, são obtidos a partir de: t 2 Q1 = ∫ τ 13dx3 Q = ∫ dx τ t − 2 t 2 11 22 12 2 23 3 t − 2 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ (2.10) Contudo, como as componentes de tensão τ23 e τ13 são desprezadas, os esforços cortantes serão obtidos através das equações de equilíbrio do elemento, pois apesar dos esforços cortantes produzidos por uma carga transversal terem efeitos desprezíveis sobre a flexão de uma placa delgada, os mesmos não podem ser desprezados nas equações de equilíbrio do elemento. Assim, considerando-se um carregamento distribuído g e fazendo-se o equilíbrio das forças verticais e dos momentos em torno de x1 e x2, obtêm-se duas relações de equilíbrio, que são dadas a seguir na forma explícita e indicial:
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Os momentos elásticos, nos pontos
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onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q)
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1 ⎧ ∂w ⎫ ⎪ ⎪ ∂ 2 ⎪ n
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⎧M ⎪ ⎨M ⎪ ⎩M 11 12 22 ⎫
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integrada ( GIL RODRIGUEZ, 1986 ),
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l/ 2 a / 2 a a F d 2 2 Nsube Nsube
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13 14 15 16 28 29 30 31 32 33 34 35
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apoio apoio l/2 l/2 x2 x1 B A l/2 l
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onde o valor de a1 foi fixado em 0,
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t/ 2 0 0 Mij = ∫ ijx dx σ − t/
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onde: ( ) ⎛ ∂ ⎜ ⎝ ∂x ∂x
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Substituindo-se em (5.23) o valor d
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∂ wq ∂x ∂x ( ) ∂ wq ( ) 2 2
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Logo, substituindo-se (5.45) em (5.
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onde: X T ⎡φ g p T ( N) ~ X = ψ
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lado onde ξ 2 x2 R2(θ) R1(θ) q x
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[ ] KQwQ e onde: ( ) ( ) correspond
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m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
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Os esforços cortantes nos pontos i
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• os coeficientes de E'' , de dim
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R ~ L ~ −1 R = A E ~ ~ * ~ 112 (5
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Os momentos são dados por: 114 e 0
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tensão à que está submetido, hav
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v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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A figura (7.16) representa a curva
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armadura, o que corresponde, aproxi
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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