o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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Desse modo, pode-se expressar os vetores de deslocamentos u ~ um ponto P qualquer do elemento, da seguinte forma: e de esforços p ~ T N uP ( ) =φ ( PU ) (4.6) ~ ~ ~ T N pP ( ) =φ ( PP ) (4.7) ~ ~ ~ ou, explicitamente: U U u ( P) ( P) ( P) ( P) U uP ( ) = ~ u ( P) ( P) ( P) ( P) U U U ⎧ 1 ⎧ ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 1 ⎫ ⎡φ1 0 φ2 0 φ3 0 ⎤⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ (4.8) 2 ⎩ 2 ⎭ ⎣ 0 φ1 0 φ2 0 φ3 ⎦⎪ 2 ⎪ ⎪ 3 ⎪ 1 ⎪ 3 ⎪ ⎩⎪ 2 ⎭⎪ P P p ( P) ( P) ( P) ( P) P pP ( ) = ~ p ( P) ( P) ( P) ( P) P P P ⎧ 1 ⎧ ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 1 ⎫ ⎡φ1 0 φ2 0 φ3 0 ⎤⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ (4.9) 2 ⎩ 2 ⎭ ⎣ 0 φ1 0 φ2 0 φ3 ⎦⎪ 2 ⎪ ⎪ 3 ⎪ 1 ⎪ 3 ⎪ ⎩⎪ 2 ⎭⎪ N N onde: Ui e Pi são os deslocamentos e esforços na direção i do nó N, u1 = w =flecha, ∂w u 2 = = rotação, ∂n p1 = Vn= cortante equivalente, p2 = Mn= momento na direção normal ao contorno, φ i são as funções interpoladoras quadráticas, dadas por: 1 φ1( P ) =− ξ( 1 − ξ) , (4.10.a) 2 φ ( P ) = 1 − ξ , (4.10.b) 2 2 1 φ3( P ) = ξ( 1 + ξ) , (4.10.c) 2 47 de
As equações (4.10), são obtidas das funções de forma escritas para um caso geral, onde adota-se ξ1 = -1 e ξ3 = 1. Assim, para um caso geral as funções são dadas por: φ φ φ 2 1 3 ( 3 − ) ( − ) ξξ ξ ( P ) = ξ ξ ξ 1 3 1 ξ + ξ ( P ) = 1 − ξξ ( P ) = 3 1 48 (4.11.a) ξ ξξ ξ 1 2 + (4.11.b) 1 3 1 3 ( 1 − ) ( − ) ξξ ξ ξ ξ ξ 3 1 3 (4.11.c) No caso em que não haja descontinuidade nos valores das variáveis entre dois elementos adjacentes, os elementos são ditos contínuos, como é mostrado na figura (4.4). X 2 X 1 Γ 3 3 U ou P 3 2 Γ j+1 2 2 U ou P FIGURA 4.4 - Elementos Contínuos Para representar a descontinuidade das variáveis, que ocorre em situações onde há variação repentina das condições de contorno entre dois elementos consecutivos, como ocorre nos cantos, definem-se nós duplos (figura 4.5), que são dois nós definidos com as mesmas coordenadas. Contudo, para ser possível representar a descontinuidade, deve-se escrever duas equações independentes para o ponto onde há descontinuidade. Uma das maneiras para se obter isso é mudando o ponto de colocação de lugar, isto é, as coordenadas do nó duplo são recalculadas, de tal forma que ele se torne interno ao elemento e não mais coincidente com sua extremidade (ver figura 4.5) e, então, escreve-se a equação para esse 1 Γ j 1 1 U ou P Valores contínuos das variáveis Γ j−1
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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lado onde ξ 2 x2 R2(θ) R1(θ) q x
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[ ] KQwQ e onde: ( ) ( ) correspond
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m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
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Os esforços cortantes nos pontos i
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• os coeficientes de E'' , de dim
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R ~ L ~ −1 R = A E ~ ~ * ~ 112 (5
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Os momentos são dados por: 114 e 0
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tensão à que está submetido, hav
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v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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A figura (7.16) representa a curva
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armadura, o que corresponde, aproxi
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8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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