o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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HQ ( ) U+ H( Q) w = GQ ( ) P+ G( Q) R + TQ ( ) (4.24) ~ ~ c c c c ~ ~ ~ ~ ~ ~ No caso do ponto de colocação Q ser um nó de canto, a equação de deslocamento é dada por: ^ KQw ( ) ( Q) + HQU ( ) + H( Qw ) = GQP ( ) + G( QR ) + T( Q) (4.25) onde os vetores HQ ( ), Hc( Q) , GQ ~ ( ) e G Q c c c c c c ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ^ ~ c ~ 53 ( ) e o coeficiente Tc ( Q)são calculados, ^ respectivamente, de maneira análoga a HQ ( ), Hc ( Q), GQ ( ), Gc ( Q) e TQ ( ), indicados na equação (4.23). ^ c Nesse caso também, pode-se somar a constante KQ ( ) = β c / 2 π ao coeficiente ^ H ( Q, Q) da matriz H ( Q) , que é o coeficiente que multiplica o deslocamento wc do canto c ~ considerado. Portanto, a equação (4.25) fica: HQU ( ) + H( Q) w = GQP ( ) + G( QR ) + T( Q) (4.26) c c c c c ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4.3 Sistema de Equações Têm-se duas incógnitas nodais em cada ponto do contorno e uma em cada canto, portanto é necessário escrever duas equações para cada nó do contorno e uma para cada canto, para que seja possível se obter a solução do problema. Uma opção, é escrever, para cada nó do contorno, a equação algébrica do deslocamento w, dada por (4.24) e a equação algébrica do deslocamento ∂w/∂m, que pode ser obtida, derivando-se a equação (3.67). Contudo, nesse trabalho será usada somente a equação do deslocamento transversal w. 4.3.1 Pontos de Colocação O sistema de equações poderá ser obtido de duas maneiras (ver figura 4.7): no caso a será escrito a equação de w em cada ponto do contorno Q e em seu respectivo ponto externo
A e no caso b, a mesma será escrita em dois pontos externos A1 e A2. A integração numérica, em ambos os casos, será feita usando a técnica de sub-elementos (ver item 4.7.2). Assim, para cada nó simples ou duplo do contorno, tem-se dois pontos de colocação e para cada nó de canto, tem-se um ponto de colocação. Em cada canto são definidos três pontos nodais (2 nós duplos e um nó de canto), o que resulta em 5 pontos de colocação, como está indicado na figura (4.7). Q Nó de canto Nó simples A d a Nós duplos lj Nó de canto FIGURA 4.7 - Pontos de Colocação onde: di = ailm (4.27) l m é a média dos comprimentos dos elementos concorrentes no nó, ou, se o nó for interno ao elemento, é igual ao comprimento do mesmo, 0. 0001 ≤ a i ≤ 1. 5 para evitar problemas numéricos, lj é o comprimento do elemento j. Para se obter a solução não-linear do problema (ver capítulo 7) ou a solução linear considerando-se momentos iniciais (ver capítulo 5), é necessário que o domínio seja discretizado em células, nas quais o campo de momentos iniciais será aproximado. Como nesse trabalho a integração numérica das células não foi feita considerando-se a técnica de sub-elementos, o limite inferior de ai (equação 4.27) deve ser 0.1. Além dos dois esquemas apresentados na figura (4.7), foi ainda testado um terceiro, onde considerava-se dois pontos de colocação no contorno, como está indicado na figura (4.8.a), onde está representada uma discretização com 20 nós no contorno. A1 A2 d1 d2 b 54
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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P ~ : vetor das forças generalizad
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
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xvii FERNANDES, G.R. (1998). O mét
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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Os esforços cortantes nos pontos i
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Os momentos são dados por: 114 e 0
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tensão à que está submetido, hav
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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