o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

⎧M
⎫ 11
⎪ ⎪ Et
⎨M
22 ⎬ =
⎪
⎩M
⎪ ( )
12 ⎭
3
2 ⎧ ∂ w ⎫
⎡
⎤ ⎪ − 2 ⎪
⎢1
ν 0 ⎥ ⎪ ∂x
1 ⎪
2
⎢ν
1 0 ⎥ ⎪ ∂ w ⎪
2
12 1−
ν ⎢ 1−
ν ⎥ ⎨ − 2 ⎬
⎢0
0 ⎥ ⎪ ∂x
2 ⎪
2
⎣ 2 ⎦ ⎪ ∂ w ⎪
⎪−
2 ⎪
⎩ ∂x1∂x2 ⎭
ou na forma indicial:
[ ν , δ ( ν)
, ]
14
(2.8)
M =− D w + 1 − w (i, j, k = 1,2) (2.9)
ij kk ij ij
Invertendo a equação (2.8), obtêm-se as curvaturas, a partir dos momentos:
2 ⎧ ∂ w ⎫
⎪ − 2 ⎪
⎪ ∂x1
⎪ ⎡ 1 − ν 0 ⎤⎧M
2
⎪ ∂ w ⎪ 12 ⎢
⎥⎪
⎨ − 2 ⎬ = 3 ⎢−
ν 1 0 ⎥⎨M
⎪ ∂x
2 ⎪ tE
( + )
⎪ ⎪ ⎣
⎢
ν ⎦
⎥⎪
2
0 0 2 1
∂
⎩M
w
⎪−
2 ⎪
⎩ ∂x1∂x2⎭ Os esforços cortantes, dados por unidade de comprimento, são obtidos a partir de:
t
2
Q1 = ∫ τ 13dx3 Q = ∫ dx τ
t
−
2
t
2
11
22
12
2 23 3
t
−
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(2.10)
Contudo, como as componentes de tensão τ23 e τ13 são desprezadas, os esforços
cortantes serão obtidos através das equações de equilíbrio do elemento, pois apesar dos
esforços cortantes produzidos por uma carga transversal terem efeitos desprezíveis sobre a
flexão de uma placa delgada, os mesmos não podem ser desprezados nas equações de
equilíbrio do elemento. Assim, considerando-se um carregamento distribuído g e fazendo-se
o equilíbrio das forças verticais e dos momentos em torno de x1 e x2, obtêm-se duas relações
de equilíbrio, que são dadas a seguir na forma explícita e indicial: