o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

l/
2
a / 2
a a
F d
2 2
Nsube
Nsube
Nsube
g
∫ FφdΓj= ∑ ∫ FφdΓi= ∑ ∫ φ η= ∑ ∑(
( ξ) φ( ξ)
)
−l/ 2
i=
1 −a/
2
i=
1 −1
i=
1 IG=
1
1
N
F W
IG
IG
74
(4.90)
A técnica de sub-elementos é empregada nas integrais sobre os elementos e sobre o
contorno do carregamento, que aparecem na equação de deslocamento de um ponto interno,
de um ponto externo ou de um ponto do contorno, e também nas equações das curvaturas e
derivadas das curvaturas de pontos internos.
4.8 Integração Analítica sobre os Elementos
Quando o ponto de colocação Q pertence ao elemento a ser integrado, as funções
fundamentais envolvidas nas integrações apresentam singularidades. Nesses casos, as
integrais (4.86) e (4.87) devem ser feitas analiticamente, sendo que no caso de singularidades
do tipo 1/r, as integrais são interpretadas no sentido do valor principal de Cauchy. Assim,
considerando-se um nó n local do elemento ao qual Q pertence, as integrais (4.86) e (4.87)
são expressas por:
1
n l *
h1( Q)
= Vn( Q, P) n(
P) d ( P)
2 ∫ φ ξ (n = 1, 2, 3) (4.91)
−1
1
n l *
h2( Q)
=− Mn( Q, P) n(
P) d ( P)
2 ∫ φ ξ (4.92)
1
−1
n l *
g1( Q)
= w ( Q, P) n ( P) d ( P)
2 ∫ φ ξ (4.93)
−1
1
*
n l w
g2( Q)
=− ( QP , ) n ( Pd ) ( P)
2 ∫ n ∂
φ ξ (4.94)
∂
−1
Porém, no caso em que Q pertence ao elemento a ser integrado, tem-se que
r,i.ni=cos(90 O *
) = 0, e portanto, conclui-se que as expressões de Vn e ∂w*/∂n, dadas
respectivamente por (3.33) e (3.27), são nulas. As coordenadas do ponto singular Q são
obtidas a partir das coordenadas dos nós extremos (1 e 3), utilizando-se as funções de forma
φg1 e φg2, como mostra a equação (4.3). Assim, substituindo-se as expressões dos
deslocamentos e esforços fundamentais dadas no item (3.2.1) e as funções aproximadoras