o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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Fazendo-se a discretização do contorno em Ne elementos, e substituindo-se as variáveis por suas aproximações em cada elemento dadas por (4.6) e (4.7), a equação (4.13) fica: Ne ⎡ ⎤ T KQwQ ( ) ( ) + ∑ ⎢∫ p*( QP , ) φ ( Pd ) Γ⎥U j= 1 ~ ~ ⎣⎢ Γ ⎦⎥ ~ = Definindo: Ne ∑ j= 1 ⎡ ⎢ ⎣⎢ ∫ Γ ⎤ * T u ( Q, P) φ ( P) dΓ⎥P ~ ⎦⎥ + ∫ N j ~ ~ + ( ) ( ) ∗ gpw ( ) Ω g Qpd , Ω g p N j N c ∑ i= 1 + N c ∑ i= 1 ( , ) ( ) * R Q P w P ci ci * ( ) ( , ) R P w Q P ci ci + = 51 (4.18) j T h ( Q) = ∫ p*( Q, P) φ ( P) dΓ , (4.19) ~ Γ ~ ~ j * T g ( Q) = ∫ u ( Q, P) φ ( P) dΓ (4.20) ~ Γ ~ ∗ e tQ ( ) = ∫ gpw ( ) ( Qpd , ) Ω g ( p) Ω g a equação (4.18) pode ser rescrita da seguinte forma: ( ) Ne + ∑ j= 1 j KQwQ ( ) h( QU ) N e j N = ∑ g ( Q) Pj+ j= 1 ~ ~ ~ N c ∑ i= 1 ~ ~ N j N c , (4.21) * + ∑ R ci ( Q, P) wci( P) = i= 1 * ( ) ( , ) R P w Q P ci ci + t(Q) (4.22) Considerando-se o ponto de colocação em Q, soma-se as influências h Q j ( ) e g Q j ( ) de todos os elementos, agrupando-se os coeficientes multiplicativos de um mesmo ~ valor nodal, para todos os nós do contorno. Assim, pode-se escrever a equação (4.22) matricialmente: ~
onde: ^ KQwQ ( ) ( ) + HQU ( ) + H( Qw ) = GQP ( ) + G( QR ) + TQ ( ) (4.23) 1 ~ T • U = w ~ w n ... i w w n ... w ⎧ 1 ⎨ ⎩ ∂ ∂ ∂ ∂ nodais dos deslocamentos do contorno da placa, c c c c ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i Nn Nn ∂w ∂n T 1 1 i i Nn Nn • P = { Vn Mn ... Vn Mn... VnMn} ~ dos esforços do contorno da placa, T • wc= { wc ... wc ... wc } ~ 1 i Nc T • Rc= { Rc ... Rc ... Rc } ~ 1 i Nc ^ • HQ ( ), GQ ( ), são vetores de dimensão 1 x 2Nn , • Hc ( Q) e Gc ( Q) são vetores de dimensão 1 x Nc, • Nn, o número de nós do contorno da placa, • Nc,o número de cantos. ⎫ ⎬ ⎭ 52 é o vetor dos valores é o vetor dos valores nodais é o vetor dos deslocamentos nos cantos, é o vetor das reações de canto, Deve-se observar que o deslocamento w(Q) pode ser escrito em função dos deslocamentos nodais U j N do elemento ao qual pertence. Considerando-se que para todo canto, define-se três pontos nodais (2 nós duplos e um nó de canto), o ponto do contorno Q terá angulosidade somente se for um nó de canto. Assim, se o nó não for duplo e não for um ^ nó de canto, tem-se que somar KQ ( ) = 05 . ao termo HQ ( , 2* Q− 1) do sistema de equações, que é o termo referente ao deslocamento w do nó Q, sendo Q o número do nó no contorno. No caso de Q ser um nó duplo, o mesmo é levado para dentro do elemento, como é mostrado no item (4.2.2) e o deslocamento do mesmo é escrito em função dos valores nodais do elemento, como está indicado em (4.12). Nesse caso, tem-se também que KQ ( ) = 05 . e ^ portanto, deve-se somar 05 . φ i ao termo HQ ( , 2* NOi− 1) , que é o termo referente ao deslocamento w do nó i, onde i = 1, 2, 3; Noi é o nó i do elemento ao qual Q pertence (ver figura 4.5) e φi são as funções de forma dadas por (4.10). Logo a equação (4.23) fica:
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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P ~ : vetor das forças generalizad
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
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m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
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Os esforços cortantes nos pontos i
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• os coeficientes de E'' , de dim
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R ~ L ~ −1 R = A E ~ ~ * ~ 112 (5
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Os momentos são dados por: 114 e 0
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tensão à que está submetido, hav
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v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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A figura (7.16) representa a curva
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armadura, o que corresponde, aproxi
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8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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