o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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2 é o nó final do elemento, l é o comprimento do elemento, −1≤ ξ ≤ 1 − l l ≤ Γ ≤ , 2 2 Γ=ξ l , (4.1a) 2 l dΓ=2 dξ . (4.1.b) Da figura (4.2), têm-se que as coordenadas do ponto P são dadas por: 1 2 2 1 X1+ X ⎛ 1 X1−X ⎞ 1 X1( P) = + ξ ⎜ ⎟ (4.2.a) 2 ⎝ 2 ⎠ 1 2 2 1 X2+ X ⎛ 2 X2−X ⎞ 2 X2( P) = + ξ ⎜ ⎟ (4.2.b) 2 ⎝ 2 ⎠ N onde: Xi é a coordenada na direção i do nó N. As equações (4.2) podem ser escritas numa só equação matricial da seguinte forma: ⎧X1( P) ⎫ ⎡φg1( P) φg2( P) ⎨ ⎬ = ⎢ ⎩X2( P) ⎭ ⎣ 0 0 ⎧ 1 X ⎫ 1 0 0 ⎪ 2 ⎪ ⎤⎪X 1 ⎪ g1( P) g2( P) ⎥⎨ 1 ⎬ φ φ ⎦⎪X 2 ⎪ ⎪ 2 ⎩X ⎪ 2 ⎭ onde: φgi são as funções interpoladoras que são dadas por: (4.3) φg( ξ) P 1 1 2 1 ( ) = − , (4.4.a) φg( ξ) p 1 2 2 1 ( ) = + , (4.4.b) 45
N ~ X ⎧ 1 X ⎫ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪X1 ⎪ = ⎨ 1 ⎬ é o vetor dos valores nodais das coordenadas. ⎪X 2 ⎪ ⎪ 2 ⎩X ⎪ 2 ⎭ Assim, fazendo-se a discretização do contorno em Ne elementos e a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas homogêneas, dada em (4.1.b), tem-se: Γ l/ 2 Ne Ne l F( Γ) dΓ = ∑ F( Γj) dΓj = ∑ ∫ F( ξ) dξ (4.5) 2 ∫ ∫ j= 1 −l / 2 j= 1 −1 4.2.2 Aproximação das Variáveis do problema As variáveis são aproximadas por funções polinomiais quadráticas, portanto são necessário três pontos nodais em cada elemento (ver figura 4.3). As funções interpoladoras são definidas para os nós das extremidades do elemento e para o nó central do mesmo. Assim, em coordenadas homogêneas, o nó 1 tem a coordenada ξ = ξ = −1, o nó 2 ξ = ξ2= 0 e o nó 3 ξ = ξ3= 1 1 (Figura 4.3). As funções de forma φi, que são as funções de interpolação, são definidas de tal forma que sejam iguais a um (φi = 1) para o nó i e nulas para os demais nós, como é mostrado na figura (4.3). ξ 3 Γ = 1 x 2 1 x 1 φ 3 1 ξ P ξ 2 = 0 φ 2 ξ 1 =−1 1 φ 1 FIGURA 4.3 - Funções de Forma em Aproximação Quadrática das Variáveis Γ x 2 3 3 U ou P 2 2 U ou P 3 l 2 x 1 2 l 2 P 1 Função quadrática 1 46 P P U ou P 1 1 U ou P
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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onde: X T ⎡φ g p T ( N) ~ X = ψ
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lado onde ξ 2 x2 R2(θ) R1(θ) q x
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[ ] KQwQ e onde: ( ) ( ) correspond
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m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
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Os esforços cortantes nos pontos i
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• os coeficientes de E'' , de dim
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Os momentos são dados por: 114 e 0
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tensão à que está submetido, hav
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v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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armadura, o que corresponde, aproxi
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8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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