o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

onde: f kl
β
104
∂w
qP
β θ
∂x q
πDr
f
*
, mmkl
( , ) kl ( )
( ) =−
1
3 (5.75)
4
β
( θ)
são funções das derivadas de r em relação às direções x1 e x2 e, portanto,
dependem apenas do ângulo θ.
se:
Substituindo-se (5.75) e (5.59) em (5.74) e fazendo-se a integração sobre r, obtém-
θ 3
q
m 1
⎡ ξ α α α ln R 2
eijkl ( q) = ∫ fβkl
( θ)
− ⎢ + ( b cosθ + a senθ)
4π⎣R2( θ)
2A
θ
1
θ 3
q
1 ⎡ ξ α α α ln R 1
− ∫ f βkl
( θ)
⎢−
+ ( b cos θ + a sen θ)
4π⎣R1( θ)
2A
θ
1
( θ)
( θ)
⎤
⎥ dθ
+
⎦
⎤
⎥dθ
⎦
(5.76)
Estas integrais podem ser feitas numericamente em relação a θ, a não ser quando
R1(θ) for nulo. Assim, nesse caso, deve-se verificar as duas parcelas da segunda integral de
(5.76), envolvendo R1(θ). A primeira parcela envolve a integral:
θ 3
∫
θ1
f
βkl
q
ξ α
( θ)
− dθ
R ( θ)
1
⎡ ⎤
⎢ ⎥ , (5.77)
⎣ ⎦
que apresenta singularidade, quando o ponto q coincidir com o vértice α do triângulo e,
q
portanto, ξ α = 1. Considerando-se, porém, a propriedade da função f βkl
( θ),
dada por
(5.73), a parcela (5.77) é nula, pois:
θ 3
∫ fβkl ( θ) dθ
= 0
(5.78)
θ1
A segunda parcela de (5.76), envolvendo R1(θ), que é dada por:
θ 3
∫
θ1
⎡
fβkl ( θ) ⎢ b cosθ a senθ
⎣
α α
( + )
ln R 1
2A
( θ)
⎤
⎥ dθ
, (5.79)
⎦