o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

e
0
M = M + M
(5.91)
11 n 11
e as componentes M e
12
e M e
22
são dadas respectivamente por (4.74) e (4.80).
Considerando-se as equações de transformação de coordenadas, dadas por (4.81) e
0
(4.82), obtém-se o valor de M11 em função dos momentos iniciais no sistema global de
coordenadas (X1, X2):
M
109
0 ⎧M
⎫ 11
⎪ 0 ⎪
= { sen α − 2sen
αcos α cos α } ⎨M
12 ⎬
(5.92)
⎪ 0
⎩M
⎪
22 ⎭
0
11
2 2
Assim, de maneira análoga ao mostrado no item (4.6), obtêm-se os momentos
elásticos de um ponto do contorno Q, em função dos deslocamentos, esforços e momentos
iniciais dos nós do elemento j ao qual pertence:
onde:
e
0
{ M } = [ h] { U} + [ g] { P} + [ e''] { M }
Q j j j j j j
• as matrizes [h] e [g] e os vetores {U} e {P}, estão indicados em (4.84),
(5.93)
• o vetor {M 0 }, de dimensão 9 x 1, é composto pelos valores nodais dos momentos iniciais
do elemento j,
• a matriz [e”] tem dimensão 3 x 9 e os coeficientes correspondentes a um determinado nó
k do elemento são dados por:
2 2
[ '']
= ⎨senαcos
α( ν−1)
⎬{
sen − 2sen
cos cos }
e k
2 2
⎧sen
α + νcosα⎫ ⎪
⎪
⎪ 2 2
⎩cos
α + νsen α
⎪
⎭
α α α α (5.94)
Após acoplar todos os elementos que compõe o contorno, chega-se à equação
matricial de momentos para Nn pontos do contorno, que é dada por:
onde:
U
P
e
~
~
M + H''( q) H'' c ( q)
w G''( q) G'' c ( q)
R
T''( q) E''M ~ ~
~
c ~
~
~ ~ ~
~
~ c
⎡
⎤⎧⎪
⎫⎪
⎡
⎤⎧⎪
⎫⎪
0
⎢
⎥⎨
⎬ = ⎢
⎥⎨
⎬ + + (5.95)
⎣
⎦⎩⎪
⎭⎪ ⎣
⎦⎩⎪
⎭⎪