o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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• Com a equação (7.4), obtêm-se o vetor de momentos verdadeiros { M } v n , e o vetor de i incremento de momentos verdadeiros { ∆M } v n . i • Calcula-se, então, o vetor de momentos residuais : 0 n+ 1 n { ∆ } = { Ψ} = { ∆M } e n - { ∆M } v M i i i i 160 n (7.21) • Para todos os pontos ao longo da espessura, verifica-se o critério de convergência, através da equação (7.16) se o modelo considerado for o elasto-plástico ou da equação (7.17) se for o modelo de dano. Segue-se o mesmo procedimento para todos os pontos do contorno e do domínio. Se o critério de convergência não for verificado, para algum ponto, quer dizer que o estado de tensão na estrutura é tal que verifica o modelo constitutivo em todos os pontos, mas não é n mais estaticamente admissível. Assim, aplica-se { Ψ} i ao sistema como um campo de momentos iniciais, obtém-se um novo incremento de momentos elásticos através da equação (7.18.b) e passa-se à iteração seguinte. Caso o critério de convergência seja verificado, passa-se ao incremento seguinte. Portanto, o processo iterativo termina quando o estado de tensão na estrutura verificar ao mesmo tempo, as condições de equilíbrio e o modelo constituivo em todos os pontos da mesma. Ao final de um incremento, têm-se: 0 X = L+ RM (7.22) ~ ~ ~ ~ * * 0 wq ( ) = L+ R M (7.23) ~ ~ ~ ~ M M v = (7.24) ~ ~ 0 onde: M é vetor de momentos plásticos acumulados, ou vetor dos resíduos acumulados, ~ os outros vetores e matrizes são os mesmos definidos em (5.100) e (5.104). 7.6 Exemplos Numéricos
A seguir serão apresentados um exemplo de viga e dois exemplos de placas, sendo que os resultados desses últimos serão comparados com os resultados obtidos experimentalmente. Apesar de todos os exemplos apresentarem eixos de simetria, será considerado sempre a placa inteira, para evitar de se prescrever valores no domínio da mesma. 7.6.1 Viga apoiada com momento aplicado nas extremidades M M b b x2 x1 a a FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoiada Na viga representada na figura (7.8), os lados de dimensão 2b são apoiados e os 161
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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P ~ : vetor das forças generalizad
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
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xvii FERNANDES, G.R. (1998). O mét
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Mais recentemente, CHENG (1979) des
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utilizando a teoria de Reissner e C
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Os elementos do contorno serão lin
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2 TEORIA DE PLACAS DELGADAS 2.1 Int
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u = u = 0 e u = w ≠ 0 1 2 3 sendo
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Considerando-se as hipóteses feita
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⎧M ⎫ 11 ⎪ ⎪ Et ⎨M 22 ⎬
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2 2 g ou ainda: ∇∇ w = D (2.15.
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x 2 x3 s a ds x 1 P ds n s b Mnsds
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Borda Engastada FIGURA 2.8 - Placa
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Desse modo, a segunda derivada pode
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⎛ π ⎞ r, i si = cos⎜β+ ⎟
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3 EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO
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carregamento ou ponto fonte e o pon
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Considerando-se as equações (2.17
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FIGURA 3.3 - Forças Atuantes no C
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V * 1 Mns =− −ν r i nir j sj (
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∂ ∂x i 2 * ⎛ ∂ M n ⎜ ⎝
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* [ R + ( Q P) w + ( P) ] ∗ + ( )
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KQwQ ( ) V( QPwP ) M ( QP) ( ) w
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gq ( ) 3 ⎛ 3⎞ Ωg = R ⎜ ln R
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4.2 - Discretização das Equaçõe
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N ~ X ⎧ 1 X ⎫ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪X1
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As equações (4.10), são obtidas
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ocorre quando se tem duas equaçõe
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onde: ^ KQwQ ( ) ( ) + HQU ( ) + H(
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A e no caso b, a mesma será escrit
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onde todos os termos são análogos
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• T c ~ é o subvetor de dimensã
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Eixo de rotação α r e R 1 r j n
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• os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc
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Os momentos elásticos, nos pontos
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onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q)
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1 ⎧ ∂w ⎫ ⎪ ⎪ ∂ 2 ⎪ n
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⎧M ⎪ ⎨M ⎪ ⎩M 11 12 22 ⎫
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integrada ( GIL RODRIGUEZ, 1986 ),
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l/ 2 a / 2 a a F d 2 2 Nsube Nsube
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FIGURA 4.12 - Elemento de Contorno
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13 14 15 16 28 29 30 31 32 33 34 35
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apoio apoio l/2 l/2 x2 x1 B A l/2 l
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onde o valor de a1 foi fixado em 0,
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5 PROBLEMA DE PLACAS COM CAMPO DE M
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t/ 2 0 0 Mij = ∫ ijx dx σ − t/
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onde: ( ) ⎛ ∂ ⎜ ⎝ ∂x ∂x
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Substituindo-se em (5.23) o valor d
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∂ wq ∂x ∂x ( ) ∂ wq ( ) 2 2
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Logo, substituindo-se (5.45) em (5.
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onde: X T ⎡φ g p T ( N) ~ X = ψ
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lado onde ξ 2 x2 R2(θ) R1(θ) q x
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[ ] KQwQ e onde: ( ) ( ) correspond
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m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
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Os esforços cortantes nos pontos i
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Page 177: e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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Page 185 and 186: A figura (7.16) representa a curva
Page 187 and 188: armadura, o que corresponde, aproxi
Page 189 and 190: 8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
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Page 193 and 194: HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
Page 195 and 196: OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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