o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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e portanto, para os casos em que o parâmetro de endurecimento K é constante, a equação (6.38) resulta em: 131 ∆p =−K p ∆ε (6.52) v Assim, para se obter a tensão verdadeira σ ij( n+1 ) (n+1), procede-se da seguinte maneira: • Inicialmente, supõe-se que a iteração (n+1) é elástica, portanto têm-se: ε = ε + ∆ε ij( n+ 1) ij( n) e ij( n+ 1) p ( ij n ij n ) e v σ = E ε − ε = σ + ∆σ ij( n+ 1) ( + 1) ( ) ij( n) e ij( n+ 1) p ε ε n+ 1 = p n e • Com σ ij( n+1 ) calcula-se σ e ( n+1 ) de acordo com o critério especificado. e p • Verifica-se o critério de plastificação: fn+ σn+ ( σy Kε n+ ) ⇒ Se f n+ ≤ 1 Condição a ser satisfeita: ∆λf n+ = 1 1 = 1 − + 1 ≤ 0 0 . v 0 , tem-se ∆λ = 0 e, portanto: σ ij n ( + 1) = e σ ij( n+1 ) em uma determinada iteração ⇒ Se f n+ 1 > 0 , tem-se ∆λ > 0 e, portanto, deve-se procurar um novo estado de tensão tal que f n+ 1 = 0 , como está mostrado na figura (6.6). Calcula-se então ∆λ , através da p equação (6.44), o incremento de deformação plástica ∆ε n+1 , com a equação (6.50), p atualizando-se o valor de ε n+1 p p p : ε = ε + ∆ε e por fim, a tensão verdadeira: n+ 1 n n+ 1 v y v v e σ = σ + ∆σ = σ + ∆σ − ∆λ d (6.53) ij( n+ 1) ij( n+ 1) ij( n+ 1) ij( n) y onde σ ij( n+1 ) são as tensões correspondentes ao limite elástico σ n+1 y . Assim, considerando-se resistência somente à compressão, a superfície de escoamento, representada na figura (6.6), é dada por: ij ij
Nova superfície de plastificação, depois do encruamento e σ n+1 v σ n v σ n+1 correção σ1 FIGURA 6.7 - Representação Geométrica do Critério de Von Mises no caso biaxial, com Resistência somente à Compressão. ∗ CRITÉRIO DE VON MISES Um critério de escoamento é independente da orientação do sistema de coordenadas empregado, sendo, usualmente, expresso em função dos invariantes de tensão. No critério de Von Mises, o escoamento ocorre quando o segundo invariante atinge um valor k, ou seja, quando: σ2 132 J2 = k (6.54) 1 onde: J2= SijSij (i, j = 1, 2, 3) (6.55) 2 sendo Sij a parte anti-esférica do vetor de tensões, que é dada por: S ij = σij −δijσ m (6.56) e σ m σ ii = . (6.57) 3 Expressando-se (6.55) em função das tensões principais, obtém-se: 2 2 2 [ ( ) ( 2 3) ( 3 1) ] 1 = σ − σ + σ − σ + σ −σ (6.58) 6 J 2 1 2 Considerando-se um caso bidimensional ( σ 3 = 0 ), o critério, que é dado pela equação (6.54), pode ser escrito na forma:
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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P ~ : vetor das forças generalizad
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
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xvii FERNANDES, G.R. (1998). O mét
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Mais recentemente, CHENG (1979) des
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utilizando a teoria de Reissner e C
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Os elementos do contorno serão lin
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2 TEORIA DE PLACAS DELGADAS 2.1 Int
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u = u = 0 e u = w ≠ 0 1 2 3 sendo
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Considerando-se as hipóteses feita
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⎧M ⎫ 11 ⎪ ⎪ Et ⎨M 22 ⎬
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2 2 g ou ainda: ∇∇ w = D (2.15.
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x 2 x3 s a ds x 1 P ds n s b Mnsds
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Borda Engastada FIGURA 2.8 - Placa
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Desse modo, a segunda derivada pode
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⎛ π ⎞ r, i si = cos⎜β+ ⎟
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3 EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO
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carregamento ou ponto fonte e o pon
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Considerando-se as equações (2.17
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FIGURA 3.3 - Forças Atuantes no C
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V * 1 Mns =− −ν r i nir j sj (
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∂ ∂x i 2 * ⎛ ∂ M n ⎜ ⎝
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* [ R + ( Q P) w + ( P) ] ∗ + ( )
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KQwQ ( ) V( QPwP ) M ( QP) ( ) w
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gq ( ) 3 ⎛ 3⎞ Ωg = R ⎜ ln R
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4.2 - Discretização das Equaçõe
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N ~ X ⎧ 1 X ⎫ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪X1
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As equações (4.10), são obtidas
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ocorre quando se tem duas equaçõe
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onde: ^ KQwQ ( ) ( ) + HQU ( ) + H(
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A e no caso b, a mesma será escrit
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onde todos os termos são análogos
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• T c ~ é o subvetor de dimensã
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Eixo de rotação α r e R 1 r j n
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• os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc
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Os momentos elásticos, nos pontos
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onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q)
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1 ⎧ ∂w ⎫ ⎪ ⎪ ∂ 2 ⎪ n
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⎧M ⎪ ⎨M ⎪ ⎩M 11 12 22 ⎫
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integrada ( GIL RODRIGUEZ, 1986 ),
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l/ 2 a / 2 a a F d 2 2 Nsube Nsube
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FIGURA 4.12 - Elemento de Contorno
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