o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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No capítulo 4 as equações integrais são transformadas em equações algébricas, através da discretização do contorno em elementos, sobre os quais os deslocamentos e esforços são aproximados por funções aproximadoras. Além das equações algébricas dos deslocamentos, obtêm-se as equações algébricas dos esforços para os pontos do domínio e do contorno. Têm-se, ainda, nesse capítulo, alguns exemplos numéricos, onde obtêm-se a solução linear de placas sujeitas a carregamentos transversais. No capítulo 5 é apresentada a formulação de placas considerando-se um campo de momentos iniciais, onde são deduzidas as equações integrais e algébricas dos deslocamentos e esforços para os pontos do domínio e do contorno. Os momentos iniciais são aproximados no domínio, através da discretização do mesmo em células. Essa será a formulação utilizada para se obter a solução não-linear de placas sujeitas à carregamentos transversais. No capítulo 6 são apresentados os modelos constitutivos utilizados para o concreto e a armadura. No caso do concreto, adotaram-se dois modelos bidimensionais: um elastoplástico e outro de dano e para a armadura, adotou-se um modelo elasto-plástico unidimensional. No capítulo 7 é apresentada a solução não-linear do problema, assim como o modelo estratificado utilizado na integração das tensões ao longo da espessura da placa e o processo para zerar a normal resultante numa seção da placa. No mesmo capítulo, são apresentados alguns exemplos numéricos da formulação não-linear proposta. No capítulo 8 são feitas as conclusões. 7
2 TEORIA DE PLACAS DELGADAS 2.1 Introdução Placa é um elemento estrutural caracterizado por apresentar duas das três dimensões muito grandes em comparação com a terceira e cujo carregamento é transversal à sua superfície. Assim, a representação geométrica adotada para a placa é bidimensional, sendo os eixos cartesianos x1 x2 definidos em sua superfície média, como mostra a figura (2.1), no caso de uma placa retangular: X2 x2 X3 x3 x1 X1 FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional de Placa Cada ponto ao longo da espessura da placa é definido pela cota x3, onde t t − ≤ x 3 ≤ . 2 2 8
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• T c ~ é o subvetor de dimensã
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Eixo de rotação α r e R 1 r j n
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• os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc
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Os momentos elásticos, nos pontos
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onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q)
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1 ⎧ ∂w ⎫ ⎪ ⎪ ∂ 2 ⎪ n
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⎧M ⎪ ⎨M ⎪ ⎩M 11 12 22 ⎫
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integrada ( GIL RODRIGUEZ, 1986 ),
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l/ 2 a / 2 a a F d 2 2 Nsube Nsube
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FIGURA 4.12 - Elemento de Contorno
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13 14 15 16 28 29 30 31 32 33 34 35
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apoio apoio l/2 l/2 x2 x1 B A l/2 l
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onde o valor de a1 foi fixado em 0,
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5 PROBLEMA DE PLACAS COM CAMPO DE M
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t/ 2 0 0 Mij = ∫ ijx dx σ − t/
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onde: ( ) ⎛ ∂ ⎜ ⎝ ∂x ∂x
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Substituindo-se em (5.23) o valor d
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∂ wq ∂x ∂x ( ) ∂ wq ( ) 2 2
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Logo, substituindo-se (5.45) em (5.
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onde: X T ⎡φ g p T ( N) ~ X = ψ
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lado onde ξ 2 x2 R2(θ) R1(θ) q x
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[ ] KQwQ e onde: ( ) ( ) correspond
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m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
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onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
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• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
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Os esforços cortantes nos pontos i
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• os coeficientes de E'' , de dim
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R ~ L ~ −1 R = A E ~ ~ * ~ 112 (5
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Os momentos são dados por: 114 e 0
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tensão à que está submetido, hav
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v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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A figura (7.16) representa a curva
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armadura, o que corresponde, aproxi
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8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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