o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

⎛ π ⎞
r, i si
= cos⎜β+ ⎟ =−senβ.
(2.41)
⎝ 2⎠
A fim de deduzir as expressões de Mn, Mns e Vn em coordenadas polares, considere
um ponto P do contorno, onde n e s são, respectivamente, os vetores normal e tangente ao
contorno, com origem em P, como mostra a figura (2.10). Substituindo-se (2.37) em (2.17) e
(2.18), assim como (2.39) em (2.19), obtêm-se as equações:
1 dw
[ ν ( 1 ν)( r n ) ] ν ( 1 ν)(
r s )
[ ]
M D dw
2 ⎧
2 2 ⎫
nn =− ⎨ 2 + − , i i + + − , i i ⎬ (2.42)
⎩ dr
r dr
⎭
2 ⎛ dw 1 dw⎞
Mns =−D −ν r, i nir, j sj⎜
− ⎟
(2.43)
2
⎝ dr r dr ⎠
( 1 )( )( )
3
2
⎛ dw 1 dw 1
Qn =− D( r, i ni)
⎜ 3 + 2 − 2
⎝ dr r dr r
Substituindo-se (2.40) e (2.41) em (2.43), obtém-se um nova expressão para Mns :
dw
dr
⎞
⎟
⎠
24
(2.44)
2 ⎛ dw 1 dw⎞
M D(
)
ns = 1 − ν cosβsen β⎜
− ⎟
2
(2.45)
⎝ dr r dr ⎠
Para a obtenção de Vn, deve-se ter a expressão da derivada de Mns em relação à
direção s, que é dada por:
∂M
∂s
∂M
∂β ∂M
∂r
= + (2.46)
∂β ∂s
∂r
∂s
ns ns ns
onde : ∂r
∂r
∂x1
∂r
∂x
2
= + = r, i si
= −sen
β
(2.47)
∂s
∂x
∂s
∂x
∂s
1
2
∂β ∂α ∂θ
1 cosβ
= − = ( α, 1 s1 + α, 2 s2) − ( θ, 1 s1 + θ,
2 s2)
= −
∂s
∂s
∂s
R r
(2.48)