o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

( )
∫
w, q + p*( q, P) u( P) dΓ( P)
+
kkj
~ ~ ~
Γ
N c
∑
i=
1
( , ) ( )
*
p q P w P
ci ci
~
*
*
= u ( q, P) p( P) dΓ( P)
+ ∑ Rci P uci q, P +
∫
Γ
~
⎧
T ⎪ ∂
onde: w, kkj ( q)
= ⎨
~ ⎩⎪ ∂x
⎡ ∂
⎢
⎢ ∂x
p*( q, P)
=
⎢
~
∂
⎢
⎣⎢
∂x
~
1
1
2
N c
i=
1
( ) ( )
~
∫
Ω g
2
2
⎛ ∂ wq ( ) ⎞ ∂ ⎛ ∂ wq ( ) ⎞ ⎫⎪
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬
⎝ ∂xk∂xk ⎠ ∂x2⎝∂xk∂xk
⎠ ⎭⎪
2 ⎛ ∂ Vn
⎜
⎝ ∂x ∂x
2 ⎛ ∂ Vn
⎜
⎝ ∂x ∂x
=
( ) Ω ( )
∗
gp ( ) w qpd , p
g g
~
65
(4.60)
(4.61)
2
⎞ ∂ ⎛ ∂ M ⎞ ⎤
n
( qP , ) ⎟ − ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎥
⎠ ∂x
1 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎥
2 (4.62)
⎞ ∂ ⎛ ∂ M ⎞ ⎥
n
( qP , ) ⎟ − ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎥
⎠ ∂x
1 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎦⎥
k k
* *
k k
* *
w
u P { u P u P } w P
n P
T
( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )
~
⎧ ∂ ⎫
1 2 ⎨ ⎬
⎩ ∂ ⎭
⎧
* T ⎪ ∂
pci ( q, P)
= ⎨
~ ⎩⎪ ∂x
⎡
∂
⎢
⎢ ∂x
u*( q, P)
= ⎢
~
⎢ ∂
⎢
x
⎣⎢
∂
1
2
1
2 * 2 *
⎛ ∂ R ci ( q, P)
⎞ ∂ ⎛ ∂ R ci ( q, P)
⎞ ⎫⎪
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎬
⎝ ∂xk∂xk ⎠ ∂x2⎝
∂xk∂xk ⎠ ⎭⎪
2 ⎛ ∂ w
⎜
⎝ ∂x ∂x
2 ⎛ ∂ w
⎜
⎝ ∂x ∂x
⎞ ⎛ ⎛ w ⎞ ⎞
( qP , ) ⎟ − ⎜ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎟
⎠ x ⎜ x x ⎜ n ⎟
⎝
⎠
⎟
⎝
⎠
⎞
w
( qP , ) ⎟ ( qP , )
⎠ x x x n
−
2 2
∂ ∂ ∂
⎤
⎥
∂ 1 ∂ ∂ ∂ ⎥
⎥
⎛ 2 2
∂ ⎛
⎞⎞
⎜
∂ ∂
⎜
⎟⎟
⎥
∂ ⎜ ⎜
⎟
⎝ ∂ ∂ ⎝ ∂ ⎠
⎟ ⎥
2
⎠ ⎦⎥
* *
k k k k
* *
k k k k
{ } { }
T
p ( P) = p ( P) p ( P) = V ( P) M ( P)
~
(4.63)
(4.64)
(4.65)
1 2 n n
(4.66)
2 * 2 *
⎧ w
w
* T ⎪ ∂ ⎛ ∂ ⎞
ci
∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎫
ci ⎪
uci ( q, P)
= ⎨ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎬
~ ⎩⎪ ∂x
1 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ∂x
2 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎭⎪
2 * 2 *
⎧ w
w
* T ⎪ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎫
wg( q, P)
= ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎜ ( qP , ) ⎟
⎪
⎨
~
x ⎜
⎝ xk x ⎟
k ⎠ x ⎜
⎝ xk x ⎟ ⎬
∂ ∂ ∂
∂
⎩⎪ 1
2 ∂ ∂ k ⎠ ⎭⎪
(4.67)
(4.68)
onde as derivadas dos deslocamentos e esforços fundamentais estão definidos no item
(3.2.1).
Após a discretização do contorno e a aproximação das variáveis, os valores de w, kkj
em Ni pontos internos são calculadas através da equação: