o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

w
x x
u q P
qP
2 * *
⎡ ∂
2 2
∂ ⎛ ∂ w ⎞ ⎤
⎢ ( , ) − ⎜ ( qP , ) ⎟
x x ⎜ n ⎟
⎥
⎢ ∂ 1∂ 1 ∂ 1∂ 1 ⎝ ∂ ⎠ ⎥
⎢ 2 * *
w
⎛ w ⎞
*( , ) =
⎢
∂
2 2
∂ ∂
⎥
( qP , ) − ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎥
~ ⎢ ∂x ∂x
∂x ∂x
⎜
⎝ ∂n
⎟
⎠ ⎥
1 2
1 2
⎢
⎥
2 * *
⎢ ∂ w
2 2
∂ ⎛ ∂ w ⎞ ⎥
⎢ ( qP , ) − ⎜ ( qP , ) ⎟
x x
x x ⎜
⎝ n ⎟ ⎥
⎣⎢
∂ 2∂ 2 ∂ 2∂ 2 ∂ ⎠ ⎥⎦
{ } { }
T
p ( P) = p ( P) p ( P) = V ( P) M ( P)
~
63
(4.53)
1 2 n n
(4.54)
* * *
w
w
w
* T ci ci ci
uci ( q, P)
= ( qP , ) ( qP , ) ( qP , )
~
x x x x x x
⎧ 2
2
2
∂
∂
∂ ⎫
⎨ ⎬
⎩∂
1∂ 1 ∂ 1∂ 2 ∂ 2∂ 2 ⎭
w
w q P
x x qP
* * *
w
w
* T
g ( , ) = ( , ) ( qP , ) ( qP , )
~
x x x x
⎧ 2
2
2
⎪ ∂
∂
∂ ⎫⎪
⎨
⎬
⎩⎪ ∂ 1∂ 1 ∂ 1∂ 2 ∂ 2∂ 2 ⎭⎪
(4.55)
(4.56)
onde as derivadas dos deslocamentos e esforços fundamentais estão indicadas no item
(3.2.1).
Após a discretização do contorno e a aproximação das variáveis, as curvaturas em Ni
pontos internos são calculadas através da equação matricial:
w, ij ( q) + H'( q) ~
~
U
~
H' c ( q)
w G'( q) ~
c ~
~
P
~
G' c ( q)
R
T'( q)
~
~
~ c
⎡
⎢
⎣
⎤⎧⎪
⎫⎪
⎡
⎥⎨
⎬ = ⎢
⎦
⎩⎪ ⎭⎪ ⎣
⎤⎧⎪
⎫⎪
⎥⎨
⎬ + (4.57)
⎦⎩⎪
⎭⎪
onde:
• w, ( q)
é o vetor que contém as curvaturas nos pontos internos,
ij
~
• os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc} são os vetores de deslocamentos e esforços dos nós e
cantos do contorno, já calculados,
• as matrizes [H’] e [G’] têm dimensões 3Ni x 2Nn e [H’c], [G’c] têm dimensões 3Ni x Nc.
Os coeficientes de [H’] e [G’] são provenientes das integrais sobre os elementos do
contorno discretizado expressas em (4.19) e (4.20), porém com p*( q, P)
e u*( q, P)
~
~
definidos em (4.50) e (4.53).