1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

указали, что Чебышев (1846/1947, с. 14) назвал его основным
предложением теории вероятностей.
Далее, отрицая среднего человека Кетле, Бертран (c. XLII –
XLIII) не заметил, что это понятие было бы гораздо более
приемлемо, будь оно основано на законе Пуассона, а не на
теореме Якоба Бернулли.
Бертран (с. 80 – 82) определял Еξ 2 и Е|ξ| (или, точнее, Е(ξ – Еξ) 2
и Е|ξ – Еξ|, в современных обозначениях) для количества успехов
в схеме Бернулли 5 . В первом случае он рассматривал
(p + q) n = p n + A 1 p n–1 q + … + A qn p pn q qn + … + q n . (1)
Заметив, что
n
2 n−k
k
2
∑ ( nq − k) Ak
p q = E(ξ − Eξ) ,
k=
0
Бертран вычислил эту сумму, получив
Е(ξ – Еξ) 2 = npq. (2)
Он несомненно принял, что Еξ = qn.
Ранее (см. ниже) он обозначил вероятность успеха через р, а не
через q. В заметке [8] Бертран аналогичным образом получил
Е[(ξ/n) – р)] 2 = pq/n и заметил, что при n → ∞ Е[|(ξ/n) – р| > ε] → 0.
Здесь и при исследовании стрельбы в цель [2, с. 244 – 245] можно
было воспользоваться неравенством Бьенеме – Чебышева, а
формулу (2) вывести проще, применив индикаторные
переменные.
Более интересен второй случай Бертрана. Он заметил, что
Р[(ξ – Еξ) = z] = A z p np+z q nq–z
и что сумма произведений соответствующих членов бинома
(p + q) n , т. е. членов, соответствующих условию z ≥ 0,
умноженных на z = q(np + z) – p(nq – z), была равна
∂φ
∂ϕ
pq[ − ] , (3)
∂ p ∂ q
где φ – сумма этих членов. Оказалось, что (3) равносильно
выражению
np np nq
C p q npq =
n
npq
2π
и что окончательный результат должен быть вдвое больше.
Бертран также заметил, что и Е(ξ – Еξ) 2 и Е|ξ – Еξ| совпадали со
своими значениями, непосредственно вычисленными по
соответствующему нормальному распределению, а на с. 101 – 103
100