1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

3) Еk, снова отличное от числа, определяемого формулой (7), и
три формулы для 1/2k 2 , а именно (2), её вариант,
соответствующий выражениям (5b) и (6b), и, наконец, без
объяснений, ещё одну формулу.
13. Выборочная дисперсия (Гаусс)
Бертран (с. 203 – 206) вывел формулу Гаусса
⎛ 1 ⎞ [ vv] m = ⎜ ⎟ = ,
⎝ k 2 ⎠ π − ρ
(1)
хотя только для нормального распределения. Не упомянув этого
результата, он (с. 298 – 302) повторил доказательство Guyou
(1888) для общего случая. Наконец, Бертран (с. 251 – 252) оценил
погрешность формулы (1), сформулировав эту задачу как вывод
вероятного значения константы (!) m 2 . Для ошибок e i , как он
показал,
h − m
− = (2)
n
4
2 2 4
E( m [ ee]/ n) ,
где h 4 было четвёртым моментом рассматриваемой плотности
распределения. У Гаусса (1823, § 40), который обсуждал
остаточные свободные члены v i , было
4
2 2m
var m = .
(3)
π − ρ
В соответствии с современными идеями, формулы (2) и (3)
следовало видоизменить, заменив m 4 2 2
неизвестным (E e ) .
Действительно, Еm 2 2
= E e
i
, но m 2 2
≠ E e
i
.
Крамер вывел более точную формулу [iv, § 6.7]. О других
результатах Гаусса и о работах последующих учёных см. там же.
Далее, в 1908 г. Стьюдент (Hald 1998, § 27.5) отыскал для
нормального закона распределение величины m 2 = [ee]/n и указал,
что при нём среднее арифметическое и m независимы, но лишь
Фишер доказал это, см. также § 17.
14. Критика формулы Гаусса
Бертран возражал против формулы Гаусса (13.1). Мы
представим его соображения в более методическом виде.
1) Он заметил, что систематические ошибки (почему-то обычно
называя их постоянными) исключают возможность оценки
точности. На важных исторических примерах он (с. XL – XLI и
304 – 305) показал, что астрономы подчас переоценивали свои
наблюдения. Сам Бертран (с. 238), описывая стрельбу по мишени,
отказался решить, важнее ли общее уклонение попаданий от её
центра или мера их рассеивания, Гаусс (1823, § 2) же чётко
i
118