1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

VII
Геометрическая вероятность и парадокс Бертрана
Geometric probability and the Bertrand paradox.
Hist. Scientiarum, vol. 13, 2003, pp. 42 – 53
1. Ранняя история.
1.1. Ньютон (рукопись 1664 – 1666/1967) рассмотрел
мысленный эксперимент. Шар падает на центр круга и
оказывается в одном из двух секторов, отношение площадей
которых равно 2:√5. Если в первом случае игрок выигрывает a, а
во втором случае – b, то его надежды стоят (2a + b√5):(2 + √5).
Здесь видно обобщение понятия ожидания, введенного
Гюйгенсом в 1657 г. Аналогично, утверждал Ньютон, можно
определять вероятности броска неправильной игральной кости.
1.2. Арбутнот был, видимо, переводчиком трактата Гюйгенса
на английский язык (Тодхантер 1865, с. 49 и след.), и в нём, в
1692 г., переводчик дополнительно рассмотрел вероятности
броска неточного прямоугольного параллелепипеда на его
различные грани, т. е. задачи, упомянутой Ньютоном. Решение
этой задачи привёл Симпсон (1740, с. 67 – 70), но ошибся во
всяком случае в размерности. Иную формулу указала без
обоснования Перес (1985).
1.3. Даниил Бернулли (1735) применил геометрические
вероятности для решения элементарной задачи о наклонностях
планетных орбит относительно орбиты Земли. В течение
нескольких последующих десятилетий Муавр, Симпсон (1757) и
Бейес (1764) вводили законы распределения и, фактически,
вместе с ними, геометрические вероятности. Муавр (1743/1756, с.
323), например, считал, что для возрастов, превышающих 12 лет,
закон смертности равномерен и что вероятности смерти
пропорциональны длинам соответствующих отрезков времени.
1.4. Мичелл (1767) вычислял геометрическую вероятность p
близкого (не далее 1°) расположения двух звёзд из их общего
числа n, случайно рассеянных по небесной сфере. Полагая n =
5000 (примерно столько звёзд можно увидеть невооружённым
глазом) и элементарным подсчётом определив p = 1/13 131, он
заключил, что число близко расположенных звёзд равно np = 0.38,
тогда как У. Гершель обнаружил несколько сот визуальнодвойных
звёзд, гораздо более близких друг к другу. Исследование
Мичелла показало, что большинство этих звёзд являлось
физически-двойными и что звёзды не распределены равномерно.
1.5. Бюффон (1777/1954) окончательно ввёл геометрические
вероятности в науку о шансах, ввёл геометрию в свои права. Он
(с. 474) косвенно определил это понятие как отношение
некоторых протяжённостей (в современной терминологии, мер)
друг к другу и сформулировал (с. 471) свою знаменитую задачу:
Игла длиной 2r падает случайно на ряд параллельных прямых,
расположенных на расстояниях a > 2r друг от друга. Требуется
определить вероятность, что игла пересечёт одну из прямых.
Несложный расчёт приводит к
140