1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

же. Так, он сформулировал две теоремы, относящиеся к их
ожиданиям. Вот одна из них: Вероятное значение произведения,
если сомножители независимы, равно произведению их
вероятных значений. По крайней мере в одном случае Бертран [8]
обозначил ожидаемое значение буквой Е (но не Еξ); впрочем,
Meyer (1874, гл. 3) опередил его.
Таким образом, Бертран (например, на с. 80) употреблял
термин вероятное значение наравне с ожиданием; он не
последовал за Гауссом, который, в Теории комбинаций, § 5, назвал
ожидание непрерывной случайной величины valor medius.
Вот некоторые задачи из трактата.
1. В урне содержится большое число m пронумерованных
шаров; n шаров было вынуто по одному с возвращением. Каково
ожидание Пьера, который получает по 1 франку за каждое
экстремальное значение в появляющейся числовой
последовательности (с. 53)? Гораздо более общую задачу
обсуждал Бьенеме в 1874 и 1875 гг. Heyde & Seneta (1977, § 5.11)
описали и его работу, и последующие исследования, включая
заметку Бертрана [7].
Там Бертран утверждал, что любое из трёх абсолютно
неизвестных чисел будет максимально с вероятностью 1/3 и
заключил, что ожидание Пьера равно 2/3n. То же он повторил в
трактате, но разумно отказался от прежнего утверждения [7] о
том, что, если 10 последовательных членов случайной числовой
последовательности не экстремальны, то её следующий член
окажется экстремальным с вероятностью 10/11.
Heyde & Seneta (1977, с. 125 – 126) приписали Бертрану первое
применение индикаторных переменных (принимающих значения
0 и 1 с соответствующими вероятностями). Однако,
непосредственно он их не вводил, первым же был Чебышев
(1867/1947, с. 436).
2. Знаменитая задача Бюффона (с. 54). Игла длиной s падает на
ряд параллельных прямых, расположенных на расстояниях a друг
от друга (a > s). Пьер получает франк, если игла пересекает
прямую, и требуется определить его ожидание. Лаплас (1812, гл.
5) заметил, что по результатам многократного повторения этого
эксперимента можно эмпирически определить значение π [vii, §
1.5]. Бертран, в свою очередь, указал, что искомая вероятность
зависит и от длины, и от формы иглы, но что ожидание Пьера от
формы иглы не зависит. В этом он усматривал различие между
исчислениями вероятностей и ожиданий, но дальнейших
разъяснений не дал.
Он также сослался на Barbier (1860), который обобщил
указанную задачу и на с. 175 указал, что в соответствии с
рекомендацией Бертрана предпочитает выводить ожидания.
Проблему Бюффона рассматривали многие последующие авторы,
в том числе Буняковский и Марков.
3. Петербургская игра (с. 62). Игрок А подбрасывает монету.
Если орёл появляется при первом броске, он получает франк от В,
если же это произойдёт только при k-м броске, то он получает 2 k–1
франков. Его ожидание оказывается бесконечным, что
98