1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
а соответствующая плотность φ(х) пусть будет чётной и<br />
одновершинной кривой. Вероятность появления указанных<br />
ошибок будет пропорциональна произведению<br />
φ(х 1 ) φ(х 2 ) … φ(х n )<br />
и, по Гауссу, случай шести нулевых ошибок неблагоприятен<br />
(Гаусс 1809 b, § 174).<br />
4.3. Нормальное распределение и принцип наименьших<br />
квадратов. Формальные математические рассуждения<br />
начинаются в § 175. Как гипотезу Гаусс принял, что среднее<br />
арифметическое из равноточных (как следовало из поставленных<br />
условий) наблюдений окажется<br />
наиболее вероятным значением, если и не абсолютно точно,<br />
то по крайней мере очень близко к этому, так что всегда будет<br />
наиболее надёжно придерживаться именно [его].<br />
Выбор среднего арифметического Бертран (1888b, § 138) назвал<br />
постулатом; сам же Гаусс (§ 179) сформулировал равносильное<br />
утверждение, но лишь для нормального распределения, хотя и<br />
отказался от этого ограничения.<br />
Гаусс доказал, что в классе одновершинных, симметричных и<br />
(молчаливо) дифференцируемых распределений φ( x − x)<br />
существует особый закон (нормальный), для которого оценка<br />
наибольшего правдоподобия ˆx параметра сдвига (позднейшая<br />
терминология) совпадает со средним арифметическим x из<br />
наблюдений. Принцип наибольшего правдоподобия Гаусс ввёл<br />
независимо от своих предшественников, Ламберта [iii, § 3.2] и<br />
Даниила Бернулли (1778).<br />
Само доказательство известно по его изложению в<br />
многочисленных источниках, и мы лишь укажем на одно<br />
малоизвестное обстоятельство (Уиттекер и Робинсон 1924/1949,<br />
с. 219 прим.): дополнительно принимать, как это сделал Гаусс (§<br />
176), что априорно множества (3) распределены равномерно (и<br />
далее исходить из принципа обращённой вероятности), не<br />
обязательно, потому что это можно вывести из постулата<br />
среднего арифметического.<br />
Формулу нормального распределения Гаусс (§ 177) записал в<br />
виде<br />
h<br />
k<br />
∆ = − ∆ = − (4)<br />
π<br />
2<br />
2 2 2<br />
φ( ) exp( h ), h .<br />
ПрНКв Гаусс обобщил на случай неравноточных наблюдений,<br />
и (Г – Г 2.4.1840, W-8, с. 153 – 154) на уравнивание неоднородных<br />
величин (углов и сторон геодезической сети).<br />
В 1829 г. Гаусс (W-5, с. 28) заметил аналогию между ПрНКв и<br />
механическим принципом наименьшего принуждения:<br />
56
Change language