1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

углами своей начальной точки A и своего центра P, либо
полярными координатами точки P (θ и ρ) ибо OP
перпендикулярно хорде. Соответствующие двойные интегралы по
площади круга от dωdα и dρdθ не равны друг другу, что и
объясняет парадокс Бертрана.
Пуанкаре начал это исследование, утверждая, что вероятность
точке x принадлежать заданному отрезку [a,b] равна интегралу от
некоторой выбираемой функции в пределах a и b. Впрочем,
ничего интересного в этом утверждении для того времени,
видимо, не было.
3. Дальнейшая история
3.1. Мы начнём с некоторым нарушением хронологии. Czuber
(1903/1908, с. 107 – 108) привёл три других естественных
варианта задачи Бертрана.
d) Один из концов хорды задан, и она проходит через любую
точку круга; p = 1/3 + √3/2π ≈ 0.609.
Barth & Haller (1996, с. 391) заметили, что этот вариант может
быть заменён случайным выбором точки на хорде и её
направления.
e) Оба конца хорды случайны; этот вариант равносилен
варианту a).
f) Гораздо более трудный вариант. Случайно выбраны две
произвольные точки на хорде; p = 1/3 + 3√3/2π ≈ 0.746.
3.2. De Montessus (1903) выяснил, что задача Бертрана имеет
несчётное множество решений. Пусть задан единичный круг с
центром O. Некоторый диаметр пересекает круг в точке B и
продлён в том же (положительном) направлении.
Концентрический круг радиусом 1/2 пересекает тот же диаметр в
точке C на OB.
Пусть точка движется в положительном направлении от точки
C в бесконечность. В каждом её положении касательная,
проведённая из неё к малому кругу, явится границей для хорд,
удовлетворяющих условию задачи, и De Montessus вычислил
требуемую вероятность для текущей точки, а также и среднюю
вероятность. Он допустил грубую арифметическую ошибку, но
среднее значение вероятности (p = 1/2) оказалось верным, потому
что оно определяется бесконечно удалённой точкой на
продолжении диаметра OB.
3.3. Книга Borel (1909/1950) содержала две разочаровывающие
главы о геометрической вероятности. Вот некоторые из
приведенных в них соображений.
Задача о встрече решена на с. 132.
Расстояние между двумя случайными точками на сфере, с. 137,
см. наш § 2.4. Борель учёл дополнительное обстоятельство:
координаты точки определяются лишь с некоторой точностью,
зависящей от её положения относительно экватора сферы.
Задачу Бертрана автор считал необходимым уточнить;
большинство её естественных вариантов приводит к p = 1/2, с. 148
– 149. Сразу скажем, что эта точка зрения возобладала; так
144