1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

z
2
| xˆ
− E xˆ
| ≤ z w
lim P( = exp( − ) dw.
3/2
2 π m( n − m) / n
∫
2
0
3) N белых и чёрных шаров кладутся в урну таким образом, что
выбор того и иного цвета равновероятен. Определить
вероятнейший состав урны, если выборка с возвращением
включала m белых шаров и n чёрных.
Допустим, что в урне находится N/2 – z белых шаров и
обозначим z/n = y. При большом N вероятность этой гипотезы
2
пропорциональна exp( − 2 Ny ) , а вероятность выборки
оказывается равной
[(1/2 – y) m (1/2 + y) n ].
Вероятность причины, т. е. значения y, пропорциональна
произведению этих двух вероятностей и оказывается
максимальной в точке
n − m
y =
.
2( N + m + n)
Бертран здесь естественным образом обсуждал неравные
априорные вероятности, а на с. 148 он решил аналогичную задачу
с дискретными априорными вероятностями.
4) Монета подбрасывалась 4040 раз, и герб появился в 2048
случаях, а в 1992 случаях – решётка (Бюффон). Определить, не
была ли монета плохого качества (с. 158 – 160). Бертран
устанавливает вероятность Р того, что вероятность выпадения
герба, р, превышала 1/2. На с. 157 он заметил, что иногда
отыскивается не вероятность каждой гипотезы [это слишком
сложно], а лишь вероятности [указанного типа].
Пусть p = 1/2 + z, 0 < z ≤ 1/2. Тогда
y = + z − z ≈ − z + z
2048 1992 2
(1/2 ) (1/2 ) exp ( 8080 112 ),
так что Р пропорционально
1/2
2
exp ( − 8080z
+ 112 z) dz.
∫
0
Вероятность неравенства z ≤ 0, т. е. 1 – Р, пропорциональна
1/2
2
exp ( − 8080z
−112 z) dz,
∫
0
а соотношение этих вероятностей равно 4.263 и Р = 4.263/5.263 =
0.81.
108