1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

2 2
⎛ S1
1 ⎞ 1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
E − = 1− = var ,
2
⎜
n
⎟ ⎜ ⎟
k π 2nk
π
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k π ⎠
(3)
2 2
⎛ S2
1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞
E var .
2 4 2
⎜
n − ⎟
⎝ 2k ⎠
= 2nk = ⎜ ⎝ 2k
⎠
⎟
(4)
Значения λ, приводящие к минимуму величины 11
2 2
1
1
1
2
E ⎛ S
S
⎜ − λ ⎞ ⎟ и E ⎛ ⎜ − λ ⎞ ,
2 ⎟
⎝ k n ⎠ ⎝ k n ⎠
(5а, b)
оказались равными (с. 194 – 195)
2 π 2
λ = n
, λ = ,
2 + (π − 2)/ n n + 2
(6a, b)
тогда как формулы (3) и (4) соответствовали значениям λ = √π и λ
= 2 соответственно.
Формулы Бертрана определяли смещённые оценки. Такова
формула (2), которая впервые появилась у Лапласа (1816), хотя
лишь для нормального распределения, и относилась к остаточным
свободным членам, а не к погрешностям, Гаусс же [iv, § 6.7] не
называя его по имени, справедливо посчитал её неточной.
Бертран (с. 195 – 198) предложил и иной способ оценки
точности. Он заметил, что вероятнейшее значение k
соответствовало условию
Ck 2 exp (– k 2 [ee]) = max,
что приводило к формуле (2), но затем Бертран (с. 196) заключил,
что в общем случае следует предпочитать вероятное
(ожидаемое) значение. Соответственно, он вычислил
∞
n+
1 2
Ek = C k exp( −k [ ee]) dk.
∫
0
Использовав неточное приближение для гамма-функции, и
предполагая большое значение n, он получил
Ek =
2S
n
2
,
заявляя, что это соответствует формуле (2). Без всяких
вычислений Бертран [22] ранее опубликовал
1) Оптимальные значения λ для выражений (5а, b). Первое из
них отличалось от полученного здесь числа (6а).
2) Вероятнейшее значение k.
117