1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

∞
x
2 8 2 2 2 2 2 2 1+
2π
Eξ = k x exp( −k x )[ exp( − k z ) dz] dx = .
2
π 2k
0 0
∫ ∫ (4)
4) Наблюдения подразделены в группы по три. Требуется
определить среднее значение той же ошибки (с. 201 – 202). Здесь
1+
2 3/π
= (5)
2k
2
Eξ .
2
Формулы (4) и (5) Бертран опубликовал без доказательства
ранее [16].
5) Определить среднее значение наименьшей по абсолютной
величине погрешности в группе из n (с. 216 – 217). Здесь
x
2kn
2 2 2k
2 2 n−1
E|ξ| = x exp( −k x )[1 − exp( −k z ) dz] dx.
π
π
∫
0
Обозначим
2k
π
x
2 2
exp( − k z ) dz = θ( x),
∫
0
тогда
∞
∞
1
E | ξ | [1 θ( )] n −
n
= n x − x dθ x = [1 − θ( x)] dx.
∫ ∫
0 0
Для малых значений z
θ(z) = kz, (6)
а подынтегральная функция становится пренебрегаемой при
больших значениях х и поэтому
1
E|ξ | = .
k( n + 1)
Погрешность этого выражения Бертран не оценил, а приближение
(6) было ошибочно: правая часть должна была бы равняться
2kz/√π и
π
E|ξ | = .
2 k( n + 1)
Аналогичное исследование (и та же ошибка) содержится в
прежней статье Бертрана [26]. Борткевич (1922, с. 198 – 201)
описал его работу по порядковым статистикам, но не обратил
112