1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

= 1
2nk
(5)
2
E x .
2
Но Бертран выше написал Еρ вместо Еρ 2 и приравнял Е∆ 2 и ∆ 2 .
Он, далее, приложил аналитическое доказательство (Rouché
1888а) того, что для любого ∆
2 2
Eρ ∆ 1
− =
2 ,
n n 2nk
или, иначе, что (5) не зависит от разностей |x i – x j |. Rouché
фактически доказал, что
1 ∆ − E∆
2nk
n
2 2
2
E x = + .
2 2
Бертран (с. 891) посчитал, что этот результат противоречит
афоризму Лапласа (1814/1999, с. 963, правый столбец) о том, что
теория вероятностей есть ни что иное, как здравый смысл,
приведенный к формулам [точнее, к исчислению]. Этот афоризм,
хоть его и цитировали тысячи раз, неудачен: в то время почти всю
математику можно было бы характеризовать тем же образом.
Выше, Бертран близко подошёл к доказательству взаимной
независимости среднего арифметического и средней
квадратической ошибки в случае нормального распределения,
хотя Лаплас (1816), см. Шейнин (1977а, с. 36), и Гельмерт в 1876
г. (Шейнин 1995, § 11.3) предвосхитили его. Впрочем, его усилия
не относились непосредственно к геодезии, в которой в конце
XIX в. погрешность измеренного угла вряд ли превышала 1′ =
2.9·10 – 4 , так что в цепи треугольников (n = 30, к примеру) ρ ≤
1.6·10 – 3 , – сравните это значение с верхним пределом интеграла в
(4)!
2) В статье [28] Бертран исследовал ту же тему, но принял n = 3
(случай треугольника). Своей предшествовавшей статьи он не
упомянул и не повторил ошибочной записи Еρ вместо Еρ 2 .
Пусть х 1 + х 2 + х 3 = w. Плотность распределения ρ теперь равна
Сρexp (– k 2 ρ 2 )dρ, (6)
где константа определяется приравниванием 1 интеграла от этой
функции в пределах от w/√3 до ∞:
С = 2k 2 exp (– k 2 w 2 /3),
∞
2 2 2 2 3 2 2 2 2
ρ = 2 exp( /3) ρ exp( − ρ ) ρ = /3 + 1/ .
E k k w ∫ k d w k (7)
w/ 3
И вот его заключение: если ввести в углы поправку – w/3, то ρ 2
заменится на (ρ 2 – w 2 /3) и Е(ρ 2 – w 2 /3) = 1/k 2 .
122