1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

величине ошибки в паре (с. 198 – 199). Для погрешностей δ 1 и δ 2
очевидно
x
2k
2 2 2k
2 2
(
1
≤| δ
1
| ≤
1
+
1;| δ
2
| ≤ ) = 2 exp( − )[ exp( ) ] .
π
∫ −
0 π
P x x dx x k x k z dz dx
Первый сомножитель, 2, учитывает возможную взаимную
перестановку ошибок. Искомое значение равно
x
x
8 2 2 2 2 2
Eξ = k x exp( −k x )[ exp( −k z ) dz] dx.
π
∫ ∫
0 0
Интегрирование по частям приводит к
2
Eξ = .
(3)
k π
2) Та же задача (с. 199 – 200). Бертран описал другое решение и
дополнительно оценил меньшую по абсолютной величине
ошибку. Вот его рассуждение:
2
δ1 + δ2
2 δi
1
E[ ] = E = , i = 1 или 2.
2
2 2 4k
Это выражение совпадает с формулой (2а) при замене k на k√2,
а потому то же соотношение имеет место для второго среднего
значения 9 и
| δ + δ | 1
2 k 2π
1 2
Eξ = = .
Обозначим max (δ 1 ; δ 2 ) = M, min (δ 1 ; δ 2 ) = m, тогда
| δ + δ | 1 M + m M − m 1
2 2 2 2 2
1 2
E = [E + E ] = E M ,
откуда следует (3). Кроме того, ввиду (2b),
2 2 − 2
EM + E m = , E m = .
k π k π
В статье [14] Бертран указал формулу для ЕM/Еm, но не доказал
её.
3) Наблюдения подразделены как и раньше. Требуется
определить среднее значение квадрата наибольшей по
абсолютной величине ошибки в паре (с. 200 – 201). Решение
аналогично задаче № 1:
111