1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

следовательно,
r = ρ/h (5)
есть вероятная ошибка, которую формально ввел Бессель (§ 5.5).
5.2. Вывод вероятной ошибки. Пусть
S n = |α| n + |β| n + |γ| n n
+ …, K n = x φ( x) dx.
Тогда для больших значений m
∞
∫
−∞
P(– λ ≤ S n – mK n
≤ λ) =
λ
θ[ ],
2
2 m( K2n
− Kn
)
(6)
где mK n – вероятнейшее значение S n .
Эту формулу Гаусс не обосновал, доказали ее Helmert (1875;
1876) и Lipschitz (1890), а Крамер (1946, § 28.2) указал, что
предложение Гаусса является очевидным частным случаем ЦПТ.
Фактически Гаусс применил абсолютные моменты и его
выражение для K n формально неверно. Кроме того, mK n – это
среднее, а не вероятнейшее значение S n .
Гаусс также вывел выражение для абсолютных моментов
нормального закона
Π[( n −1) / 2]
mKn = Sn = m
n , Π ( x ) = Γ ( x + 1),
h π
так что h, а потому и r, см. формулу (5), могли быть оценены по
S n , а кроме того могли быть вычислены вероятные интервалы для
r. Сравнивая их для различных значений n, Гаусс заключил, что
наилучшая оценка r достигается при n = 2.
5.3. Асимптотическое распределение хи-квадрат. Пусть
1/(h√2) = α и n = 2. Тогда
m( K − K ) = α 2m
2 2
4 2
и, см. формулу (6),
P(– λ ≤ S 2 – mK 2
≤ λ) =
2
N(0;α 2 m ),
так что S 2 подчиняется нормальному закону. Это и есть
асимптотическое распределение хи-квадрат (Крамер 1946, § 20.2).
5.4. Средняя абсолютная ошибка. Гаусс также ввёл более
удобный, но значительно менее точный метод вывода r для
нормального распределения. Обозначим среднюю абсолютную
ошибку через M. Тогда вероятнейшее значение этой меры можно
принять за r с вероятными пределами
59