1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

Если для некоторой величины получены из наблюдений многие
значения, то ее вероятнейшим значением является среднее
арифметическое …
В наше время Chakrabarti (1989) попытался применить тот же
принцип к термодинамике.
Без особого обоснования и Ламберт, см. также [iii, § 3.3], и
Лаплас [vi, § 2] указывали, что следует применять среднее
арифметическое, а Марков (1924, с. 323), и видимо только он,
фактически заявил, что следовало предположить, что истинное
значение измеряемой константы существует. Но важнее указать,
что Фурье [vi, § 3] определил подобное истинное значение как
предел среднего арифметического при неограниченном
возрастании числа наблюдений.
Многие авторы, начиная быть может с Энке (Encke 1832),
пытались обосновать принцип среднего арифметического
детерминированными аксиомами. В 1831 г. Гаусс (W-8, с. 145 –
146), который, видимо, прочёл его работу в рукописи, указал, что
не без интереса ознакомился с ней. Цох (1935) заключил, что,
хотя успех и не был никем здесь достигнут, этот принцип всётаки
может быть установлен без привлечения стохастических
понятий. Содержательная сторона подобных исследований
привела к появлению элементов теории инвариантных гипотез и
оценок (Lehmann 1959/1997, гл. 6).
5. Определение точности наблюдений (1816)
5.1. Мера точности и вероятная ошибка. Гаусс определял
меру точности h, – параметр нормального закона (4), – исходя из
квадратов и более высоких степеней ошибок.
Пусть ошибки m [независимых] наблюдений обозначены через
α, β, γ, … Гаусс указал, что вероятнейшее значение ĥ меры h
определяется из условия
h m exp[– h 2 (α 2 + β 2 + γ 2 + …)] = max,
откуда
h ˆ =
m
2 2 2
2(α + β + γ + ...)
.
Заметим, что ĥ = 1/(µ√2), где µ – средняя квадратическая
ошибка наблюдения. Гаусс также установил, что
t
ˆ ˆ λ m 2
2
( − λ ≤ ≤ + λ) = θ( ), θ( ) = exp( − ) ,
P h h h t z dz
hˆ
π
∫
0
так что, для Р = 1/2, λ = ρ ĥ /√m, где ρ ≈ 0.477 – корень уравнения
θ(t) = 1/2.
Наконец, для распределения (4) P(|x| ≤ ρ/h) = 1/2 и,
58