1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

причём Мальцев (1947) доказал, что в обоих случаях строгое
2 2 2
неравенство можно ослабить. Здесь Em
= Eε
i
= s . Мы
ограничились приведением формулы для случая ρ = ν 4 – 3s 4 при ρ
≤ 0. Наконец, Крамер (1946/1948, с. 382) предложил формулу для
одного неизвестного
var m
µ − µ 2(µ − 2µ ) µ − 3µ
n n n
2 2 2
2 4 2 4 2 4 2
= − +
2 3
и дополнительно, для нормального распределения,
2 2( n −1)
4
var m = m .
2
n
Здесь величины µ – центральные моменты и m 2 – смещенная
оценка, соответствующая случаю k = 0.
Существенна ли несмещённость? Представляется, что она ныне
допускается (Sprott 1978, с. 194) и во всяком случае несмещённые
оценки не всегда существуют. Czuber (1891, с. 460) обсуждал эту
тему с Гельмертом, и они заключили, что основным является не
сама дисперсия, а её относительная величина, var m 2 /m 2 , причём
Eddington (1933, с. 280) независимо выразил то же мнение. Более
того, по поводу смещённости неизвестных в (1) можно высказать
аналогичное утверждение: важнее её отношение к дисперсии, или
иначе: остаточная систематическая ошибка не так важна, как её
отношение к случайным ошибкам. Опираясь на сомнительные
соображения, так полагали по крайней мере советские
геодезисты.
Bertrand (1888a) критиковал формулу (8). Молчаливо допустив
нормальное распределение, он привёл пример, в котором его
собственная оценка дисперсии оказалась меньше, но он упустил
из вида её несмещённость, которая у него исчезла,
а кроме того он напрасно вычислял дисперсию, забыв про
дополнительную формулу Гаусса (10) для нормального
распределения.
6.8. Упрощенное изложение второго обоснования.
Колмогоров (§ 6.7) заметил, что формула (8) является лишь
определением. Да, с учётом числа степеней свободы корень из
выборочной дисперсии должен иметь указанный вид, но мы
полагаем, что доказывать эту формулу всё-таки нужно. И
доказательство, предложенное многими авторами начиная с
Гаусса, достаточно просто. Необходимыми ограничениями были
линейность исходных уравнений, независимость их свободных
членов (т. е. измерений) и несмещённость искомых оценок
xˆ , y ˆ, ...
Основное, однако, в том, что ПрНКв не потребовался.
Напротив, его можно ввести сейчас, хотя формулы Гаусса для
составления и решения нормальных уравнений и вычисления
весов xˆ , y ˆ, ... будут по-прежнему нужны. Мы должны
подчеркнуть, что ввиду своей сложности мемуар 1823 г., в
67