1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

предложил ещё более простое независимое доказательство того,
что для биномиального распределения (Е|ξ – Еξ|/n) → 0 и (с.
XXII) что терпеливо можно эмпирически вычислить π/2,
примерно равное Е(ξ – Еξ) 2 /(Е|ξ – Еξ|) 2 . Если мы правильно
понимаем его рассуждения, то он (с. XXVI – XXVII)
предположил, что, если для ряда разностей мужских и женских
рождений это отношение существенно отличается от π/2, то
следовало выяснить причину этого. Наконец, Бертран (с. XXIV)
описал результат своего исследования 10-значной таблицы
логарифмов. Он проверил распределение седьмой цифры,
вычислив то же отношение, но не пояснил своего метода в
достаточной мере.
4.2. Задачи.
1) Определить вероятность, что в n = 20 000 тысячах испытаний
Бернулли при р = 0.45 количество успехов превысит n/2 (с. 89).
Вычисление по теореме Муавра – Лапласа показывает, что эта
вероятность очень невелика. Ранее Бертран [18] решил ту же
задачу более сложным путём. Вначале, вслед за Гауссом (1816, §
5), он вычислил чётные моменты нормального распределения
Е(ξ/a) 2s = Е[(ξ/a) s ] 2 , а затем определил их минимальное значение.
−s
s
Оказалось, что оно равно e 2/ e (правильно e − 2 ) и имеет
место при s = a 2 /2npq – 1/2 (при s = a 2 /2npq).
2) Урна содержит λp белых шаров и λq чёрных. Определить
вероятность, что после n извлечений без возвращения появится
(np – k) белых шаров (с. 94). Ранее Бертран [17] привёл лишь
ответ при λ, n → ∞
P =
2
1 λ k λ
exp[ ]
2πnpq λ − n 2 pqn(λ − n)
и заметил его сходство с теоремой Муавра – Лапласа. Он (c. 1202)
разумно указал, что переменная вероятность извлечения белого
шара была своего рода регулятором нормальной пропорции,
предусмотренной теоремой Бернулли.
В своём трактате Бертран привёл доказательство, применив,
вслед за Муавром (1712/1984, с. 247 – 248; 1756, с. 86 – 89),
гипергеометрическое распределение. В 1657 г. эту задачу
рассматривал Гюйгенс в дополнительной задаче № 2 (Шейнин
1977b, с. 241 и 244).
3) Сколько безобидных игр необходимо, чтобы один из двух
игроков потерял 100 000 ставок с вероятностью 0.999 (с. 106 –
107)? Иными словами, требуется определить n при p = 1/2 и
|µ – np| ≤ 50 000, P(|µ – np| ≤ 50 000) = 0.001 (4a, b)
где µ – число проигранных ставок.
По теореме Муавра – Лапласа
101