1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

φ(2m) = 2φ(m) + (1/2)φ(2m). (1)
Если же капитал В не ограничен, а игрок А имеет лишь m
франков, то ожидаемая продолжительность игры составит
φ(2m) = 4φ(m).
На с. 132 – 133 Бертран обобщает эту задачу, полагая, что игра не
является безобидной. Фактически он исходил из формулы
Муавра, которую в иной форме предложил Якоб Бернулли, Муавр
же первым опубликовал её (Todhunter 1865, с . 62 – 63):
m
λ −1 =
m n .
λ −1
P
m +
(2)
В ней предположено, что А имеет m фишек, а В – n фишек и λ =
q/p, где p и q – их вероятности выигрыша в каждой игре. Для
случая, при котором игроки имеют по m фишек каждый, Бертран
вычислил вероятности разорения в виде
P
A
m
1 λ
= , PB
=
m
1+ λ 1+
λ
m
,
заметив, что вместо формулы (1)
m
2λ φ(2 m) φ(2m) = 2φ(m) +
m 2 .
(1 + λ )
И тут он бросил свою задачу как не интересную для исчисления
вероятностей. Возможно, однако, что она оказалась слишком
трудной.
2) Разорение в безобидной игре при неравных вероятностях
выигрыша (с. 116 – 117). Игроки имеют m и n фишек, их ставки –
a и b, а вероятности выигрыша в каждой игре, p и q. Определить
вероятности их разорения 6 . Бертран заметил, что из безобидности
игры следовало, что
P(m + n) = m, P = m/(m + n). (3)
Ту же вероятность он определил из разностного уравнения
y x = py x+b + qy x–a , (4)
где y x обозначало искомую величину при игроке А, имеющем х
фишек, так что
y 0 = 0, y m+n = 1, (5a, b)
притом для безобидной игры
103