1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

противоречило здравому смыслу. Эту задачу придумал Николай
Бернулли, но стала она знаменитой после появления мемуара
Даниила Бернулли 1738 г., опубликованного в Петербурге. Он
видоизменил задачу, введя понятие морального ожидания
(Шейнин и Майстров 1972, с. 140 – 142). Бертран (с. 66) отрицал
новое понятие:
Теория морального ожидания стала классической, и никогда
ещё это слово не употреблялось более точно. Она изучалась и
преподавалась, она развивалась в книгах поистине знаменитых,
но на этом успех прекратился: она никогда не была и не могла
быть применена.
Лаплас также исследовал моральное ожидание, чего мы уже не
будем обсуждать. Но, чтобы избежать путаницы, он (1812/1886, с.
189) предложил уточнить классический термин ожидание, назвав
его математическим. Его рекомендация была принята по
крайней мере во французской и русской литературе и, к
сожалению, её придерживаются до настоящего времени.
Моральное ожидание стало всё же применяться в австрийской
школе экономистов (теория предельной полезности). В 1953 г.
фон Нейман и Моргенштерн аксиоматически обосновали новую
теорию субъективной вероятности, восходящую к Бернулли
(Jorland 1987, с. 179), см также Shafer (1988). Dutka (1988)
опубликовал обзор истории петербургской игры, но не упомянул
ни Freudenthal (1951), ни Aaronson (1978). Мы лишь заметим, что
петербургская игра оказалась достойной темой исследований; не
говоря уж о Данииле Бернулли, Фрейденталь, например, изучил
серию таких игр, в которой игроки менялись ролями случайным
образом.
Бертран впервые занялся петербургской игрой в заметке [13],
но ничего примечательного не предложил. Он, однако,
сформулировал теорему о продолжительности справедливой игры
двух игроков, обладающих равными капиталами. Вероятность её
продолжения в течение n игр оказалась равной n –3/2 , что можно
доказать, рассмотрев случай n → ∞ в нашей формуле (5.10), см.
ниже.
4. Биномиальное распределение
4.1. Теория. Бертран (с. 69 – 80) описал доказательство
теоремы Муавра – Лапласа, ошибочно назвав её по имени
Бернулли 3 . В приведенном примере он (с. 76) сравнил значения
20! с его приближением по формуле Стирлинга. Вычислял он с
14-ю или 15-ю значащими цифрами, хотя достаточно было
установить соотношение этих значений, равное 1.00417.
Бертран (c. XXXII) не поверил в закон больших чисел
Пуассона: Это открытие […] весьма мало отличается от
известных законов случайности. Он добавил, что сам Пуассон
был почти единственным, кто признавал за этим законом
большое значение. Он ошибся в обоих случаях 4 . Мы (1978, § 4.4)
описали, как закон Пуассона начал постепенно признаваться, и
99