1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2 b/ 2<br />
2<br />
x<br />
z<br />
−3 5<br />
exp( − ) dx = exp( − ) dz = 10 , b = 10 / n,<br />
2 2<br />
∫<br />
2π 2<br />
∫<br />
π 2<br />
a<br />
a<br />
10<br />
5<br />
2n<br />
= ⋅ n ≈ ⋅<br />
−2 14<br />
0.9 10 , 0.62 10 .<br />
Бертран, однако, вычислял иначе. Он заметил, что условие (4а)<br />
включало 100 000 возможных случаев, каждый из которых был<br />
менее вероятен, чем результат µ = np. Далее, он вычислил<br />
вероятность этого последнего условия и, наконец, получил n ≥<br />
2·10 16 /π = 0.64·10 16 . Тот же результат будет иметь место при<br />
подынтегральной функции в последнем интеграле, равной 1, но<br />
Бертран этого не указал. Условия задачи были необычны, и<br />
смысла в ней нет.<br />
4.3. В каждой игре случай регулирует свои капризы. В § 4.2<br />
мы процитировали соответствующее утверждение Бертрана.<br />
Впрочем, и Даниил Бернулли, и Лаплас привели более<br />
интересные примеры, предвосхитив знаменитую модель<br />
Эренфестов (Шейнин 1976, с. 150 – 151). После Бертрана<br />
Пуанкаре (1896, § 93) объяснил появление равномерного<br />
распределения в существенных природных явлениях, Бертран же<br />
оставил несколько подходящих высказываний; мы выбрали одно<br />
из них [2, с. ХХ] как заглавие этого подпараграфа. Вот ещё одно<br />
(там же, с. L):<br />
Случай лишён положительных качеств. Бессильный в большом,<br />
он лишь нарушает малое. Но для приведения вещей в природе к<br />
уверенному и точному предназначенному состоянию в условиях<br />
бесконечного брожения и вариаций он является наилучшим и<br />
простейшим механизмом.<br />
Здесь видна философская позиция Бертрана, и здесь можно<br />
привести уточняющее высказывание Пуанкаре (1896/1999, с. 9):<br />
Точные законы […] лишь очерчивали пределы, в которых<br />
дозволялось пребывать случаю.<br />
В то же время Бертран (с. XXII) справедливо отрицал, что ряд<br />
наблюдений или (к примеру) событий будет уравновешен в<br />
будущем: рулетка лишена и воли, и памяти.<br />
5. Разорение игрока<br />
Задача о продолжительности игры или разорении игрока имеет<br />
важные приложения; многие комментаторы (Феллер, 1950/1964,<br />
гл. 14; Thatcher, 1957; Takacz, 1969; Kohli, 1975; Hald, 1990, гл. 20<br />
и 23) описывали её историю, но не упоминали Бертрана. Вот<br />
задачи, которые он решал.<br />
1) Игроки А и В имеют по 2m франков каждый; ставка равна 1<br />
франку и игра безобидна. Требуется определить ожидаемую<br />
продолжительность игры, φ(2m), с. 111 – 113. Пусть вначале<br />
игроки играют лишь на m франков. Тогда проигравший либо<br />
вернёт свою потерю в дальнейшей игре, либо разорится, а потому<br />
102
Change language