1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

подходом, – с подходом, который он отрицал (см. конец главы).
Лаплас упомянул Бейеса, хоть и запоздало, в последней главе
своего Опыта (1814), Бертран же умолчал о нём. Вот основные
задачи этой главы.
1) Урна содержит белые и чёрные шары. При извлечениях с
возвратом были получены m белых шаров и n чёрных, и требуется
определить состав урны (с. 148 – 149). Предположив, что все
возможные соотношения шаров равновероятны и обозначив
вероятность извлечения белого шара через х, Бертран получил
вероятность выборки, пропорциональную
y = x m (1 – x) n
и вероятнейший состав урны, соответствующий значению
m
xˆ = .
m + n
(1)
2) Продолжение (с. 149 – 151). На самом деле каждая гипотеза
о значении х имеет свою собственную вероятность. Требуется
определить соответствующее распределение. Оно выражается
экспоненциальной функцией
2
ε ( m + n)
C exp[ − ], q = 1 − p.
(2)
2 pq
Эта формула, как замечает Бертран, отличается от формулы
закона Муавра – Лапласа только тем, что точно известным
является не теоретическая вероятность, а число m. Однако это
означает, что формулу (2) следовало сравнивать с
соответствующим результатом Бейеса (Шейнин 2007).
2а) При n извлечениях с возвратом было получено m белых
шаров. Требуется определить вероятность P, что в урне находятся
m/n + z белых шаров (с. 180). Бертран привёл только ответ,
притом неверный
2 2
n
n z
P = exp[ − ],
2π m( n − m)
2 m( n − m)
(3)
а в предшествующей статье [23, с. 565], также без вывода, указал,
что
3/2 3 2
n
n z
P = exp[ − ].
π m( n − m)
m( n − m)
(4)
Мы можем указать интегральную форму формулы Бейеса для
искомой вероятности
107