1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

Гаусс привел несколько примеров и в одном из них вычислил
дисперсию линейной формы W = [ce] независимых ошибок e i :
m W 2 = ∑c i 2 m i 2 ,
где m i 2 – среднее значение квадрата e i . Для двух функций таких
ошибок, V 1 = [αe] и V 2 = [βe],
E(V 1 V 2 ) = ∑α i β i m i 2 ≠ 0.
6.5. Принцип наибольшего веса. Пусть исходные уравнения с
k неизвестными будут
a i x + b i y + c i z = L i = l i + ε i , i = 1, 2, …, n, n > k.
Если их неравные веса, обозначенные через p i , натуральные
числа, то, для приведения уравнений к одному и тому же весу,
каждое i-е из них следует выписать p i раз, или, при любых весах,
умножить его на p
i
. По условию наибольшего веса (см. ниже)
oба случая приводят к обобщенному принципу наименьших
квадратов [pvv] = min. Таким образом, вся теория может быть
рассмотрена в предположении p i = Const.
Ошибки наблюдений предполагаются несмещенными, Eε i = 0, и
требуется определить оценки неизвестных xˆ , yˆ , z ˆ,
также
несмещенные,
E x = xˆ , E y = yˆ , E z = zˆ
,
и обладающие наибольшими весами. Вывод Гаусса тяжеловесен и
мы рекомендуем придерживаться изложения у Идельсона (1947, §
11). В математической статистике несмещенные оценки с
наименьшими дисперсиями, подчиняющиеся определенным
аналитическим условиям, называются эффективными, так что
оценки МНКв, полученные в 1823 г., являются эффективными.
Ярошенко (1893) попытался обосновать МНКв неравенством
Бьенеме – Чебышева. Если задать некоторую вероятность Р, то
теснейший интервал 2ε для неравенства Р(׀ξ – ‏>׀Еξ ε) имеет
место при наименьшей дисперсии varξ, и этот очевидный вывод
позволяет выбрать оптимальные множители и наилучшие оценки
(оценки МНКв) неизвестных. Можно сказать, что Ярошенко не
сказал ничего нового, но по крайней мере включение неравенства
Бьенеме – Чебышева явилось здесь интересным. Впрочем, Усов
(1867) намного опередил Ярошенко.
6.6. Линейные функции оценок. Оценки неизвестных нельзя
считать независимыми, поэтому оценивать вес (или дисперсию)
их функции приходится косвенным образом. Эта задача
естественно появляется в геодезии, чего Гаусс не указал. Пример:
определить вес какой-либо стороны триангуляции после её
уравнивания. Мы снова рекомендуем читателям воспользоваться
изложением у Идельсона (1947, § 13).
65