1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

5) Разорение после определённого числа игр (с. 122 – 124).
Какова вероятность разорения игрока А, который имеет m фишек,
в точности после n игр, если вероятность его выигрыша каждой
игры равна р, а его противник обладает неограниченным
капиталом и n > m?
Предположив, что n и m имеют одну и ту же чётность, Бертран
выписал вероятность потери (n + m)/2 и выигрыша (n – m)/2 игр
игроком А
m ( n−m)/2 ( n− m)/2 ( n+
m)/2
P( n) = Cn
p q .
(10)
n
Первый сомножитель, m/n, как он заметил, ссылаясь на свою
задачу о баллотировке (§ 2), учитывал возможность разорения А
до n игр 8 .
Вероятность разорения А через n игр равна
1
P( n) + P( n + 2) + P( n + 4) + ... = ∫ P( x) dx.
(11)
∞
2 n + 2
Бертран выразил интеграл экспоненциальной функцией
отрицательного квадрата, и тот же метод он применил ранее [11].
Феллер (1950/1964, с. 348), который высоко оценивал значимость
задачи о баллотировке, вывел формулу (10), но не применил при
этом формулы (2.1).
6) Разорение в безобидной игре с равными вероятностями
выигрыша и проигрыша (с. 126 – 127). Требуется определить
ожидаемое число игр y x в условиях задачи № 2. Здесь
y x = 1 + py x+b + qy x–a , y 0 = y m+n = 0.
Возможно предположив, что решение (7) сохранится в
обобщённой форме
y = α(x)x + β(x),
Бертран принял, что
y = αx 2 + βx + γ.
Исходные условия и ограничение (6) потребовали, чтобы
α = – 1/ab, β = (m + n)/ab, γ = 0,
так что
y m = mn/ab. (12)
105