1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

вычисление было практически возможно лишь при нормальном
распределении.
6.3. Неравенство типа Бьенеме – Чебышева. Гаусс (§ 9)
рассмотрел вероятность
µ = P(|ξ| ≤ λm) =
λm
∫
−λm
φ( x) dx,
где φ(x) была [одновершинной] плотностью случайных ошибок ξ,
для которых, естественно, Eξ = 0. Заметим, что в одном из своих
примеров Гаусс записал нормальное распределение не так, как
раньше, поскольку принял иное определение для h. В § 10 он
доказал свою замечательную теорему:
λ ≤ µ√3 для µ ≤ 2/3; λ ≤
2
3 1 − µ
для 2/3 ≤ µ < 1.
Крамер (1946, § 15.7 и Упр. 4 к главам 15 – 20) привел
современное доказательство иного вида формулы:
P[|ξ – x 0 | ≥ kτ] ≤ 4 , k , τ > 0.
2
9k
Здесь х 0 было модой φ(x) и τ 2 = σ 2 + (х 0 – Еξ) 2 – второй момент
относительно моды. У Гаусса х 0 = Еξ = 0.
Seal (1967/1970, с. 210) полагала, что неравенство Гаусса имело
место для непрерывных распределений, симметричных
относительно своей единственной моды, однако ни Гаусс, ни
Крамер не вводили свойство симметрии. Она также
предположила, что желание Гаусса отказаться от нормального
распределения можно объяснить его открытием неравенства
P[|ξ| ≤ 2m] ≥ 0.89.
Всё же этот интересный довод, видимо, сыграл только
вспомогательную роль.
6.4. Независимость. Впервые это понятие определил Муавр в
1712 г. Гаусс (§ 18) ввёл иное определение, особо пригодное для
естествознания. Ошибки e 1 и e 2 двух функций наблюдений, V 1 и
V 2 (линейных, добавил он почему-то позже, в § 19), как он заявил,
не будут полностью независимы друг от друга, если [хотя бы]
одно наблюдение является их общим аргументом. Без указанного
ограничения утверждение Гаусса было бы ошибочным.
Действительно. В соответствии с теоремой Стьюдента – Фишера,
как мы назовем ее, при нормальном распределении выборочные
среднее и дисперсия независимы. Не ссылаясь ни на Гаусса, ни
друг на друга, его определение неизменно повторяли, а иногда
подразумевали в геодезии, и можно заключить, что его
применяли и до Гаусса. Новой, однако, была его оговорка в § 19.
64