1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

лучше, что ни одна цифра в вычисленном значении р не
заслуживает доверия.
Он рассмотрел две гипотезы: р 1 = 0.500391 и р 2 = 1 – р 1 .
Ошибочно считая, что априорно обе гипотезы равновероятны, и
приняв, что р 1 ≈ р 2 ≈ 1/2, он подсчитал по локальной теореме
Муавра – Лапласа
2
P( p = p1
) ∆p
= exp[ − ] = 1÷ 0.294332 ≈ 3.40.
P( p = p ) 2npq
2
Так каков же вывод? И почему Бертран не поверил в
статистическую вероятность, которую при столь большом n
вполне можно было принять за теоретическую? Притом более
просто было бы подсчитать
m
n
P1 p1 (1 − p1 ) ⎛ p ⎞
1
= =
m
n ⎜ ⎟
P2 p2 (1 − p2)
⎝ p2
⎠
m−n
.
По сути Бейес не верил в бейесовский подход. В случае одногоединственного
броска он (с. 160 – 161) обозначил вероятность
герба через х, и, как в задаче № 2, получил
1
∫
P(1/2 ≤ p ≤ 1) = C xdx = 3/8 C, P(1/2 ≤ p ≤ 1) = 1/8 C.
1/2
Сумма вероятностей должна равняться 1, а потому С = 2, и вторая
вероятность равна 3/4. Подобное следствие достаточно, чтобы
осудить принцип (т. е. бейесовский подход), заключил Бертран,
усиливая своё прежнее высказывание [24, с. 637]. Современный
автор (Roberts 1978, с. 12) признал трудность рассмотрения
одного испытания. Впрочем, Бертран никакого принципа не
опроверг, поскольку следовало воспользоваться результатами
Бейеса, а Курно (1843, § 95), очевидно вслед за Лапласом, указал,
что заключения подобного рода становятся всё более
объективными с возрастанием числа испытаний. В § 93 он заявил,
что случай одного испытания недостаточен для заключения.
7. Порядковые статистики
Бертран доказал несколько теорем о средних значениях
порядковых статистик. Он начал со случайной переменной ∆ с
законом распределения
k
= − (1)
π
2 2
φ( x) exp( k x ),
так что Е∆ 2 = 1/2k 2 , Е|∆| = 1/k√π. (2a, b)
1) Наблюдения случайно распределены попарно. Определить
среднее (т. е. ожидаемое) значение наибольшей по абсолютной
110