1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

задача Бертрана не имела особого смысла: достаточно было заменить pb на р 1 ,
а qa – на q 1 и отказаться от введения a и b.
7. Знак производной от левой части уравнения (7) изменяется в точке λ = 1 и
зависит от знака (pb – qa), см. ограничения (5). Поэтому второй
положительный корень этого уравнения либо больше, либо меньше 1. Случай 0
< λ < 1 соответствует игре при pb > qa и благоприятен игроку А, а противный
случай, благоприятный для В, приводит к λ 2 > 1. Повторим, что после каждой
игры А (В) выигрывет b (a) с вероятностью p (q). При a = b = 1 и p > q
уравнение (7) имеет корень λ 2 = q/p < 1.
8. Takacz (1982) утверждал, что Муавр (1712) опубликовал формулу (10) и
что в 1773 г. Лаплас доказал её. Мы не можем подтвердить ни одного из этих
высказываний. Takacz не повторил своего прежнего утверждения о том, что
Муавр доказал формулу (1).
9. Гельмерт (1875, с. 355; 1876, с. 128 – 129) определял Е|ε 1 – ε 2 | для
независимых погрешностей, обладающих одним и тем же нормальным
распределением с нулевым средним. Ему пришлось вычислять некоторые
интегралы, и, во втором случае, вводить разрывный множитель Дирихле.
Бертран, видимо, определял бы Е(ε 1 – ε 2 ) 2 и без труда вычислил бы требуемую
величину.
10. Бертран (с. 257 – 258) упомянул и распределение Коши (справедливо
приписав его Пуассону) и отвергнул его как невозможное. Ранее он [12] кроме
того назвал Бьенеме как аналогично рассуждавшего предшественника.
11. Для ошибок ∆, распределённых по нормальному закону (7.1),
1 2 1
E|∆| = , E ∆ = .
2
k π 2k
Пусть теперь z = |∆| – Е|∆|. Тогда, как легко проверить,
2 π − 2 2 1 −1/
π
E z = , E | z | = [θ( ) − 1 + e ],
2
2πk
k π π
2 t
2
θ( t) = ∫ exp( −x ) dx.
π 0
Выписав эти формулы без вывода, Бертран [36] заметил, что
2 2
Ez
E∆
≈
(E | z |) (E | ∆ |)
2 2
.
Он, видимо, ошибочно не считал этот факт случайным, но пояснений не
привёл.
12. Л. Н. Большев (1922 – 1978), в неопубликованной заметке, которую он
дал нам, следующим образом оценивал уровень значимости критерия Шовене.
По Шовене, ожидаемое число случайных переменных, удовлетворяющих
условию |ξ i | > х, равно
x/σ 2
1 z
n( 1− θ( x/σ) ), θ( x/σ) = exp( − ) dz,
2π
∫
0
2
причём σ считается известным. Соответственно, максимальное по абсолютной
величине наблюдение ξ i отклоняется, если
( − ξ )
n 1 θ(max | i|/σ) > 1/2.
Но
126