1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

7) Та же задача, но без условия безобидности (с. 128 – 131).
Бертран, видимо, снова обобщил своё соответствующее прежнее
решение и принял, что
y = C 2 (x) + C 1 (x)λ x = C 1 λ x + C 2 x + C 3 ,
откуда следовало
pλ a+b – λ a 1
+ q = 0, C2
= −
.
( a + b)
p − a
(13)
Но здесь, он заметил, что в соответствии с определением этой
величины
y
m
( m + n)
P − m
=
,
pb − qa
(14)
где Р определяется выражением (2), но λ, как и в задаче № 3,
остаётся неопределённым. До Бертрана эта формула, видимо, не
была известна, а его выбор ожидания был удачен, ибо позволил
сразу же решить задачу, см. также п. 2 в § 3.
Бертран, далее, указал, что, поскольку
y m = p 1 x 1 + p 2 x 2 + … + p µ x µ , (15)
где p i – вероятности того, что произойдёт x i игр, ожидаемый
выигрыш игрока А в игре i равен p i x i (pb – qa), так что (пусть pb –
qa > 0)
y m (pb – qa) = (m + n)P – m и т. д.
Впрочем, это рассуждение было вряд ли необходимо. Далее
Бертран определяет предел y m при (pb – qa) → 0, т. е. при
возрастающей безобидности игры. Он обозначил эту разность
через ε; заметил, что второй положительный корень уравнения
(13) был равен λ 2 = 1 + ε = e h , где h не зависело ни от m, ни от n; и
указал, что y x = – hmn/ε. Знаменатель должен был бы быть вдвое
больше, но ошибка не была существенна, потому что
коэффициент при mn зависел от начального условия y ab = 1.
Окончательный результат, конечно же, совпадал с формулой (12).
Впервые Бертран объяснил, как доказывается формула (14) в
статье [19], в которой он также указал без обоснования, что (12)
может быть получено как предел y m . В своём трактате он заметил,
что Rouché (1888а) доказал (без необходимости) формулу (14) до
него. Rouché вывел и уравнение (13).
6. Вероятность причин
Так, вслед за Лапласом (1812, гл. 5 и 6), Бертран назвал одну из
своих глав. Его основной задачей в ней было установление
апостериорной вероятности гипотез в соответствии с бейесовским
106