1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

p = 4r/πa, (1)
хотя он сам вычислял лишь отношение r/a, при котором p = 1/2.
Сводка рассуждений Бюффона, написанная, видимо, им самим,
появилась анонимно (1735). В ней автор поставил аналогичную
задачу о падении монеты на сеть квадратов (carreaux) и указал,
что подобные геометрические задачи являлись совсем новыми.
Тодхантер (1865, с. 203) упомянул эту сводку, но позднейшие
авторы не ссылались на неё. Напротив, задачу Бюффона 1777 г.
неоднократно описывали и обобщали, и мы сами (1991/1999, с. 61
– 62) упоминали соответствующие работы В. Я. Буняковского и
А. А. Маркова. Первым комментатором Бюффона был, видимо,
Лаплас (1812/1886, с. 365 – 369), который также заметил (с. 365),
что этот особый жанр сочетания случаев может служить для
спрямления кривых и квадрирования их поверхностей (?) и что по
формуле (1) можно экспериментально определять число π, – но с
малой точностью (Шрейдер 1962, гл. 1, §§ 1 – 2).
Без доказательства Лаплас также указал, что для такого
определения оптимальная длина иглы при a = 1 составляет 2r =
π/4, хотя в 1812 г. он привёл другой результат, 2r = 1. Тодхантер
(1865, с. 590 – 591) и Gridgeman (1960) доказали, что верно было
предыдущее число. Совсем простое доказательство этого следует
из формулы
|dπ| = (4r/p 2 )|dp|,
так что видно, что p, а потому и r должны быть максимальны, т. е.
r должно быть равным 1/2.
2. Девятнадцатый век
2.1. Курно (1843, § 18) определил геометрическую вероятность,
или, точнее, вероятность вообще как отношение некоторых
протяжённостей. Он (§ 74), далее, применил геометрическую
вероятность для вывода закона распределения функции
нескольких случайных аргументов, а в гл. 6 пояснил понятие
плотности распределения геометрическими рассуждениями, ср. §
1.3. Вот один из его примеров.
Дана функция u = |x – y|, оба аргумента которой равномерно
распределены на отрезке [0, 1]. Рассмотрев площади
соответствующих фигур, Курно заключил, что для 0 ≤ u ≤ 1
P(u ≥ a) = (1 – a) 2 .
Вероятность противоположного события относилась бы к некогда
популярной задаче о встрече, см. Whitworth (1867 (?); 1886) и
Laurent (1873, с. 67 – 69): двое договорились о встрече в
определённом месте в течение назначенного промежутка
времени, но каждый приходит в случайный момент и ожидает
только некоторое обусловленное время, после чего уходит.
141