1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

Бертран (с. 208) ввёл эти понятия, полагая, что ошибки
наблюдения следуют нормальному распределению (7.1). Следуя
за Гауссом (1823, § 7), он назвал k точностью, а k 2 – весом
наблюдения. Понятие веса он (с. 254 – 257) обобщил на иные
плотности.
Пусть Х – несмещённая линейная оценка истинного значения
константы и х 1 , х 2 , …, х n – результаты её наблюдения:
Х = λ 1 х 1 + λ 2 х 2 + … + λ n х n , λ 1 + λ 2 + … + λ n = 1.
Требуется определить коэффициенты λ i , приводящие к
наименьшей дисперсии Х, т. е. веса х i . Впрочем, Бертран заметил,
что в общем случае точность нельзя определить так же строго.
Гаусс (1823, § 7) подобного различия не сделал, но ни он, ни
Бертран не применили точности существенным образом.
Бертран (с. 208 – 211) предложил и иные определения:
1) Если для ошибок наблюдения δ и ∆
P(x ≤ δ ≤ x + dx) = P[αx ≤ ∆ ≤ α(x + dx)],
то первое наблюдение в α раз точнее второго.
2) Даны два ряда наблюдений, I и II. Если m наблюдений из
ряда I приводят к тем же выводам, что и n – из ряда II, то эти
наблюдения можно считать эквивалентными.
Бертран далее выделил законы плотностей, при которых имеют
место эти два определения,
ψ(х) = Сexp (– ах 2n ),
но признал, что для исчисления вероятностей его доказательство
не было интересно. Действительно, подобные плотности нашли
применение в основном только при n = 1/2 и 1.
Некоторые утверждения Бертрана можно понять так, что
точность ошибочно определяется лишь показательной функцией
без учёта её коэффициента. Прежняя статья автора [15] не
отличалась существенно от рассмотренного выше.
12. Оценка точности наблюдений
Бертран неизменно считал нормальный закон (7.1) плотностью
распределения ошибок наблюдения 10 и обращал особое внимание
на оценку его параметра k (см. § 11). Он (с. 190) вычислил первые
четыре абсолютных моментов функции (7.1) и, фактически
повторив Гаусса (1816, § 5), приравнял их соответствующим
эмпирическим суммам. Так, для первых двух моментов и
погрешностей e i он получил
2 2 2
S
1
| e
1
| + | e
2
| + ... + | en
| 1 S
2
e
1
+ e
2
+ ... + en
1
= = , = = . (1, 2)
n n k π n n
2
2k
Затем Бертран (с. 191 – 194) вывел формулы
116