1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6.7. Точность наблюдений (§§ 37 – 38). В случае k<br />
неизвестных, как доказал Гаусс,<br />
m 2 = E[ vv]<br />
n − k<br />
, (8)<br />
но, поскольку невозможно установить E[vv], приходится вместо<br />
него подставлять само [vv]. Лаплас (1816) косвенно применил<br />
аналогичную формулу с n вместо (n – k) в знаменателе, хотя<br />
только для нормального распределения, Гаусс (1823a/1957, с. 146)<br />
же, не называя никого, указал, что соотношение (8) следует<br />
предпочитать и по существу, и для поддержания достоинства<br />
науки. Несмещённая оценка (8) практически не применялась,<br />
неизменно подсчитывалось не m 2 , а m, которое было смещено!<br />
Гаусс (§§ 39 – 40) определил и границы для дисперсии m 2 , т. е.<br />
для varm 2 . Его прямые вычисления несколько тягостны, но<br />
достаточно ясны и его окончательныe границы были такими:<br />
4 4 4<br />
2(ν4 − 2 m ) ν<br />
4<br />
− m k(3m<br />
− ν<br />
4)<br />
, +<br />
,<br />
n − k n − k n<br />
(9)<br />
где ν 4 – четвертый момент ошибок. Словесно Гаусс добавил, что<br />
для нормального распределения (ν 4 = 3m 4 )<br />
varm 2 =<br />
4<br />
2m<br />
.<br />
n − k<br />
(10)<br />
Более точно, выражения (9) и правая часть формулы (10)<br />
должны были включать не m 2 , а неизвестную величину Eε i 2 .<br />
Действительно, Em 2 = Eε i 2 ≡ s 2 , но m 2 ≠ Eε i 2 . Здесь ε i – истинная<br />
ошибка наблюдения l i . Заметим также, что первое из двух<br />
выражений в (9) не всегда является нижней границей; их<br />
относительное расположение зависит от распределения ошибок.<br />
Первая граница ошибочна, см. ниже.<br />
Колмогоров озаглавил один из разделов своей статьи (1946)<br />
Догматическое изложение результатов Гаусса. В нем он привел<br />
формулу (8), сразу же без символа ожидания, и формулу (10), – в<br />
его нумерации, формулы (XII) и (XIV), – но почему-то не<br />
упомянул, что последняя относилась только к нормальному<br />
распределению. Он указал еще, что формула (XII) является<br />
просто определением, но, к сожалению, не развил этой мысли и<br />
никто из позднейших авторов не комментировал ее.<br />
Впоследствии Колмогоров с соавторами (1947) исправили<br />
ошибку Гаусса и, независимо повторяя и несколько подправляя<br />
Гельмерта (1904а; 1904b), получили<br />
4 4<br />
ν4 − s ρ k<br />
2 ν4<br />
− s<br />
− < var m < ,<br />
n − k n − k n n − k<br />
66
Change language