1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
1 Ð. Ð. Шейнин СÑаÑÑи по иÑÑоÑии ÑеоÑии ... - Sheynin, Oscar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3. В урне содержится m шаров, которые извлекаются с<br />
возвращением по одному. Какова вероятность Р, что после n<br />
тиражей по меньшей мере k как-то отмеченных шаров будут<br />
извлечены хоть один раз (с. 14)? Вот его ответ:<br />
n n n k( k −1)<br />
n n<br />
P = m − [ m − k( m − 1) + ( m − 2) − ... ± ( m − k) ].<br />
2<br />
Муавр (1725; 1756, с. 315) применил подобную формулу для<br />
вычисления стоимости самой длинной жизни в группе данного<br />
числа людей.<br />
4. Голосование (с. 18). В урне содержится m бюллетеней,<br />
благоприятных А, и n бюллетеней, благоприятных В. Они<br />
извлекаются по одному без возвращения. Какова вероятность, что<br />
при подсчёте голосов кандидат А будет неизменно опережать В?<br />
Бертран [10] привёл простой вывод формулы<br />
m − n<br />
P = m + n<br />
(1)<br />
и указал, что<br />
P m+1,s+1 = P m,s + P m+1,s ,<br />
где s = m + n и P m,s указывает на успех А. Способа решения он не<br />
разъяснил, а числа (m + 1) и (s + 1) не соответствуют условию<br />
задачи. Вообще же применение подобных уравнений в теории<br />
вероятностей восходит к Лагранжу. См. также Феллер (1950/1964,<br />
§§ 1.3, 2.3 и 4.6), который заметил (с. 81), что удивительно много<br />
результатов относительно [их] случайных колебаний выводится<br />
из [задачи о баллотировке]. Сам Бертран (см. наш § 5) рассмотрел<br />
пример, иллюстрирующий это утверждение.<br />
Barbier (1887) обобщил формулу (1) и указал, что при<br />
натуральных значениях k вероятность Р того, что А будет<br />
неизменно опережать В в k раз будет равна<br />
m −<br />
P = kn , k <<br />
m .<br />
m + n n<br />
Доказана была эта формула лишь в 1924 г. (Takacz 1967, с. 2).<br />
Takacz также указал (с. 3; 1969, с. 895), что Муавр доказал<br />
формулу (1) при решении задачи на разорение игрока, играющего<br />
с бесконечно богатым противником, точно после n игр. Всего в<br />
первых двух главах трактата Бертрана содержалось 40 задач,<br />
частично с решениями и неизменно с ответами.<br />
3. Ожидание<br />
Так (espérance mathématique) называлась третья глава трактата.<br />
Пуассон (1829; 1837, с. 140 – 141) определил дискретную<br />
случайную величину, назвав её явно временным термином вещь<br />
А. Не называя его, Бертран (с. 61) рассматривал grandeurs, т. е. их<br />
97
Change language