1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

a i x + b i y + … + l i = 0, i = 1, 2, …, n (1)
с числом k неизвестных констант (k < n), коэффициентами,
заданными соответствующей теорией, и измеренными
свободными членами. Линейность системы (1) не является
ограничительной, поскольку можно отыскивать приближённые
значения неизвестных из любых k её уравнений и линеаризовать
её. До введения понятия линейной независимости измерения всё
же считались физически независимыми и системы (1) не имели
решения.
За решение приходилось принимать любой набор чисел
xˆ , y ˆ, ..., приводивший к разумным остаточным свободным
членам v i . ПрНКв означал введение дополнительного условия
[vv] = min
относительно любого набора чисел {v i }, т. е. среди всех наборов
чисел xˆ , y ˆ, ... С методом (по прежней терминологии, способом)
наименьших квадратов (МНКв) мы соотносим применение
ПрНКв, обоснованного его установленными оптимальными
свойствами.
До введения ПрНКв вводились иные дополнительные условия,
в том числе условия Бошковича (Maire & Boscovich 1770, с. 501)
v 1 + v 2 + … + v n = 0, |v 1 | + |v 2 | + … + |v n | = min (2а, b)
и условие метода минимакса
|v max | = min,
в котором максимум понимался относительно всех v i , а минимум
– относительно любых наборов {v i }. Этот метод не обладал
никакими оптимальными свойствами; он даже не обеспечивал
достаточно хорошего уравнивания измерений, но позволял
определить, верна ли теория, лежащая в основе систем (1).
Действительно, если |v max | оказывалось слишком крупным, то
либо теория была неверна, либо измерения недостаточно точны.
Алгоритм для применения метода минимакса разработал Лаплас,
но можно считать, что Кеплер испытал несколько разумных
вариантов уравнивания наблюдений Тихо Браге и решил, что они,
эти наблюдения, будучи достаточно точными, не соответствовали
системе Птолемея.
2. Принцип наименьших квадратов до 1809 г.
2.1. Предшественники Гаусса. В своём комментарии к
мемуару Даниила Бернулли 1778 г. Эйлер, в том же году, ввёл
принцип, от которого можно было бы легко перейти к ПрНКв
(Шейнин 2007, § 3.4.2). Гаусс не сослался на этот комментарий, а
соответствующий том журнала Петербургской академии наук не
упомянут в (к сожалению, неполном) списке библиотечных книг
46