1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

XI
А. А. Марков, Ф. Клейн
Переписка
I. Письма Маркова Клейну
1. Письмо 17.12.1880
Monsieur, Je suis dans le plus grand doute quant au sort de mon
second mémoire. Ayant envoyé à M. Teubner les feuilles corrigées de
la première impression j’en ai reçu les deux dernières une second fois;
cela m’a fait présumer que celles que je lui avais envoyées ainsi que
ma lettre avec la prière de m’en envoyer quelques exemplaires ne lui
etaient pas arrivées. J’ai telégraphié et ecrit une lettre à M. Teubner
dans le cours du mois de Novembre; mais n’en ai pas reçu de réponse
jusqu’à présent. Je Vous demande mille pardon, Monsieur, de Vous
déranger par ces choses.
Je profite de cette occasion pour Vous dire quelques mots sur la
question de Bernoulli dont j’ai fait mention dans mon mémoire sur les
formes quadratiques et sur laquelle j’ai fait quelques recherches
nouvelles.
Question. Les nombres réels a et b et un nombre entier positif n
étant donnés, il s’agit de trouver la plus courte des périodes du système
F(a + b) – F(b), F(2a + b) – F(a + b), …, F(na + b) – F[(n – 1)a +b)] (1)
où F(c) représente en général un nombre entier se raprochant le plus à
c [– 1/2 < F(c) – c < 1/2].
J’ai resolu cette question dans le cas b = 0. Pour le cas général j’ai
demontré le théorème suivant.
Théorème. La période la plus courte du système (1) sera en même
temps la période de la suite
F(Θ) – F(– p/q + Θ), F(p/q + Θ) – F(Θ), F(2p/q + Θ) – F(p/q + Θ), …
où p/q est l’une des fractions principales ou intermédiaires
convergentes à a. t peut être choise de manière que
F(a + b) – F(b) = F(p/q + Θ) – F(Θ),
F(2a + b) – F(a + b) = F(2p/q + Θ) – F(p/q + Θ),
F(3a + b) – F(2a + b) = F(3p/q + Θ) – F(2p/q + Θ),
……………………………………………………..
F(qa + b) – F[(q – 1)a + b] = F(qp/q + Θ) – F[(q – 1)p/q + Θ].
4 1 1
Exemple. a = = , b = , n = 6.
11 1
2 +
11
1+1/3
F(4/11 + 1/11) – F(1/11) = 0,
F(16/11 + 1/11) – F(12/11 + 1/11) = 1,
F(8/11 + 1/11) – F(4/11 + 1/11) = 1,
F(20/11 + 1/11) – F(16/11 + 1/11) = 0,
F(12/11 + 1/11) – F(8/11 + 1/11) = 0,
F(24/11 + 1/11) – F(20/11 + 1/11) = 0.
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