1 О. Б. Шейнин Статьи по истории теории ... - Sheynin, Oscar

полагал и Прохоров, см. ссылку в § 3.4, и что она равносильна
признанию полного незнания (§ 2.5).
3.4. Шмидт (1926) исходил из предпосылок Пуанкаре. Он
поставил условие неизменности искомой вероятности при
параллельном переносе и вращении системы координат и доказал,
что ему соответствуют лишь интегралы от dρdθ или
[ ∂(ρ,θ) / ∂ (ξ,η)] dξdη
(обозначения те же, что и в § 2.7) и что
поэтому p = 1/2. С тех пор добавилось условие неизменности
вероятности при изменении масштаба.
Шмидт также заметил, что и Crofton (1868) заявил, хоть и без
доказательства, что параметры θ и ρ являются самыми
предпочтительными. Точной ссылки Шмидт не привёл, и мы
этого утверждения у Крофтона не нашли. Но добавим, что
Крофтон (с. 181) упомянул теорию локальной или
геометрической вероятности. Подчеркнём, что его статья
появилась до публикации книги Бертрана (1888).
Заметим ещё мнение Прохорова (1999): с геометрической точки
зрения наиболее естественно полагать, что θ и ρ независимы и
распределены равномерно, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1.
3.5. Ссылаясь лишь на Чубера, Bower (1934) доказал, что задача
Бертрана имеет бесконечное множество решений. Он вывел
основную формулу для подсчёта искомой вероятности, которая
появилась уже у De Montessus (§ 3.2), а кроме того указал все
шесть частных вариантов, указанных нами в §§ 2.6 и 3.1. Его
подход был аналогичен намеченному Пуанкаре (§ 2.7).
Боуер, однако, не пояснил своего изложения в достаточной
мере и лишь указал, что равновероятным (equilikely!) элементам,
т. е. дифференциалам, могут быть назначены различные веса.
Пусть (его с. 508) на единичной окружности с центром в O
случайно выбраны две точки. Обозначим центр соответствующей
хорды через N и ON = x. Тогда (возможный вариант) вероятность,
что точка на ON принадлежит интервалу [x, x + dx] окажется
равной не dx/2, но
[π(x + dx) 2 – πx 2 ]/π ≈ 2xdx.
Равновероятным здесь был элемент соответствующей площади.
3.6. Мы постарались отыскать все необходимые источники
вплоть до примерно 1940 г. Не будучи уверены в успехе, мы
назовём ещё одну статью (Petrini 1937). Автор ссылался только на
Бертрана и Бореля (не указав точных выходных данных) и привёл
своё собственное определение геометрической вероятности.
Впрочем, он лишь повторил вариант Бертрана с) (§ 2.6) и заявил,
что, несмотря на иные варианты, это решение являлось
единственно верным.
3.7. Дальнейшие изыскания ещё не стали историей, однако мы
упомянем важный источник (Kendall & Moran 1963). Авторы, как
и Крофтон (1868), указывают, что геометрическая вероятность
может существенно облегчить вычисление интегралов, ср.
малопонятное, правда, замечание Лапласа в § 2.6, и подробно
описывают задачи Бюффона и Сильвестра.
145